Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (медь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 40 kNучасток 1: Ø35 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1 m, алюминий (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (латунь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 60 mm и длину 0,8 m; участок BC — диаметр 50 mm и длину 1,2 m. На свободном конце C действует крутящий момент 2000 N·m. Найдите угол закручивания φ_C конца C в градусах.

T = 2000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 50 mm, L₂ = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 20 kW при 750 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 0,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 25 kN в 0,5 mw = 6 kN/m от 0 до 4 m

M_A = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 20 kN в 1 mw = 12 kN/m от 0 до 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 140 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 200 mmвырез: 40 × 40 mmцентр отверстия: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 150 MPa, σᵧ = 10 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Элемент повёрнут на 45° по часовой стрелке. Найдите нормальное напряжение σ_y′ на гранях повёрнутого элемента, перпендикулярных повёрнутой оси y′.

σ_x = 150 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 110 MPa, σᵧ = −50 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 20° по часовой стрелке от оси x.

σ_x = 110 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 13 kNa = 3 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 2857 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/117000 = 0,002857 = 2857 µε

Ответ

ε = 2857 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 3,674 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 41,58·2000/100000 = 0,8315 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 198,9·1000/70000 = 2,842 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,674 mm

Ответ

δ = 3,674 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ_C = 7,594 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярные моменты инерции

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания каждого участка

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 2 × 10⁶·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,03224 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·1200/(39000·613592) = 0,1003 rad

Полный угол закручивания

φ_C = 0,03224 + 0,1003 = 0,1325 rad = 7,594°

Ответ

φ_C = 7,594°

4.Кручение валов

Ответ: d = 29,6 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·254648/(π·50)) = 29,6 mm

Ответ

d = 29,6 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −60,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −25·0,5 = −12,5 kN·m

w: −6·4²/2 = −48 kN·m

M_A = −12,5 − 48 = −60,5 kN·m

Ответ

M_A = −60,5 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 40 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1 + 12·5·2,5

R_B = 170/5 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 34 = 46 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 46·1 − 12·1·0,5 = 40 kN·m

Ответ

M_x = 40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 9,71 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

стенка: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·145 + 1960·70)/4760 = 114,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·10³/12 + 2800·(145 − 114,1)² = 2,694 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·140³/12 + 1960·(70 − 114,1)² = 7,016 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,694 × 10⁶ + 7,016 × 10⁶ = 9,71 × 10⁶ mm⁴ = 9,71 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 9,71 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 130,5 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (40000·100 − 1600·140)/(40000 − 1600) = 98,33 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·200³/12 + 40000·1,667² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

40·40³/12 + 1600·41,67² = 2,991 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 130,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 130,5 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_y′ = 30 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Формула преобразования для грани y′

σ_y′ = 80 − 70·0 − (−50)·(−1) = 30 MPa

Проверка

Сумма нормальных напряжений не меняется при повороте.

σ_x′ = 130 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Ответ

σ_y′ = 30 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 52,72 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 30 + 80·0,766 + 60·−0,6428 = 52,72 MPa

Ответ

σ_θ = 52,72 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 12,38 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 13000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 13000·3000²·2000²/(3·2,52 × 10¹²·5000) = 12,38 mm

Ответ

δ_P = 12,38 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 151,1 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·10) = 2,876 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,876 × 10⁷/100)^1/3 = 151,1 mm

Ответ

h_req = 151,1 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 313,9 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Ответ

P_cr = 313,9 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 4,441 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/7,5 = 666,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Ответ

σ_cr = 4,441 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials