Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 20 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (бронза) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 110 GPa. Длина обоих — 600 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 250 kN. Найдите укорочение δ.

P = 250 kNстержень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 20 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 250 MPa находится внутри трубы (алюминий) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 70 mm, E = 70 GPa и допускаемым напряжением 80 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) длиной 1,2 m передаёт крутящий момент 500 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 3°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 500 N·mL = 1,2 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 50 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 2,5 m от A действует крутящий момент 250 N·m, а на свободном конце C, ещё на 1,2 m дальше, — крутящий момент 750 N·m того же направления. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 50 mmT_B = 250 N·mT_C = 750 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 8 kN/m от 0 до 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 4 mP = 55 kN в 2 mw = 3 kN/m от 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 100 mm, наружную высоту H = 325 mm и одинаковую толщину стенок t = 12 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 100 mmH = 325 mmt = 12 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −50 MPa, σᵧ = 40 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 35° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 2 kNa = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,1506 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·8482 = 9,959 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 250000·600/9,959 × 10⁸ = 0,1506 mm

Ответ

δ = 0,1506 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 668,7 kN

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,00125, 0,001143) = 0,001143 (алюминий)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,001143·5,851 × 10⁸ = 668710 N = 668,7 kN

Ответ

P_max = 668,7 kN

3.Кручение валов

Ответ: d = 34,75 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·1200/(80000·0,05236) = 143239 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 34,75 mm

Ответ

d = 34,75 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 40,74 MPa

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 250 = 1000 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Участок с наибольшим внутренним моментом имеет наибольшее напряжение (диаметр одинаков).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·50³) = 40,74 MPa

Ответ

τ_max = 40,74 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 64 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 32·4 − 8·4·2 = 64 kN·m

Ответ

M_x = 64 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 61 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2 + 3·4·2

R_B = 134/4 = 33,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 33,5 = 33,5 kN

Где V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 27,5 kN

V(2⁺) = 27,5 − 55 = −27,5 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 33,5·2 − 3·2²/2 = 61 kN·m

Ответ

M_max = 61 kN·m

Он достигается при x = 2 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 108,5 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 76 mm, h = 301 mm

A = BH − bh = 100·325 − 76·301 = 9624 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,134 × 10⁸ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(1,134 × 10⁸/9624) = 108,5 mm

Ответ

r = 108,5 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 124,4 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

стенка: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·195 + 1800·90)/4800 = 155,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·30³/12 + 3000·(195 − 155,6)² = 4,876 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·180³/12 + 1800·(90 − 155,6)² = 1,261 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,876 × 10⁶ + 1,261 × 10⁷ = 1,749 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 210 − 155,6 = 54,38 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·54,38/1,749 × 10⁷ = 124,4 MPa

Ответ

σ_верх = 124,4 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = −31,72 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 40 − −20) = −63,43°

Угол на элементе

θ_p = −31,72°

Ответ

θ_p = −31,72°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −10,99 MPa

Формула преобразования

σ_θ = −5 + −45·0,342 + 10·0,9397 = −10,99 MPa

Ответ

σ_θ = −10,99 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 3,585 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 2000 N, a = 1000 mm, b = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 2000·1000²·4000²/(3·5,95 × 10¹¹·5000) = 3,585 mm

Ответ

δ_P = 3,585 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,808 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 1,808 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 197,4 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/2500² = 197392 N = 197,4 kN

Ответ

P_cr = 197,4 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 7,896 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Ответ

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials