Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (латунь) под действием осевой нагрузки.

P = 40 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 30 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 200 MPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 70 mm, E = 120 GPa и допускаемым напряжением 50 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 100 N·md = 20 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 50 kW при 1000 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,75 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 40 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 9,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 3 kN/m от 0 до 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 15 kN в 7 mw = 6 kN/m от 0 до 10 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 170 × 10 mm, стенку высотой 230 mm и толщиной 14 mm и нижнюю полку 250 × 18 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 170 × 10 mmстенка: 14 × 230 mmнижняя полка: 250 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 140 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = −30 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 20° по часовой стрелке от оси x.

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 6 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 150 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 150 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,4074 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490,9 = 81,49 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 81,49/100000 = 0,0008149 = 814,9 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,0008149·500 mm = 0,4074 mm

Ответ

δ = 0,4074 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 432 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·7461 = 1,037 × 10⁹ N

Определяющая деформация

ε = min(0,001, 0,0004167) = 0,0004167 (медь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0004167·1,037 × 10⁹ = 431969 N = 432 kN

Ответ

P_max = 432 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 13,68 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·15708) = 0,2387 rad

φ = 0,2387·180/π = 13,68°

Ответ

φ = 13,68°

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 44,64 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·40·0,6836)) = 44,64 mm

d_i = 0,75·44,64 = 33,48 mm

Ответ

d_o = 44,64 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 39,32 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 7,125 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Рассеките в x = 9,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 15·9,5 − 3·9,5·4,75 = 7,125 kN·m

Ответ

M_x = 7,125 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 94,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·7 + 6·10·5

R_B = 405/10 = 40,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 40,5 = 34,5 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 34,5·4,5 − 6·4,5·2,25 = 94,5 kN·m

Ответ

M_x = 94,5 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 42,03 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

стенка: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·250 + 3360·120)/6160 = 179,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·20³/12 + 2800·(250 − 179,1)² = 1,417 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·240³/12 + 3360·(120 − 179,1)² = 2,786 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,417 × 10⁷ + 2,786 × 10⁷ = 4,203 × 10⁷ mm⁴ = 42,03 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 42,03 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 94,7 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 1700 mm², y = 253 mm

стенка: A = 3220 mm², y = 133 mm

нижняя полка: A = 4500 mm², y = 9 mm

Центр тяжести

ȳ = (1700·253 + 3220·133 + 4500·9)/9420 = 95,42 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 170·10³/12 + 1700·157,6² = 4,223 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·230³/12 + 3220·37,58² = 1,874 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 250·18³/12 + 4500·86,42² = 3,373 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,223 × 10⁷ + 1,874 × 10⁷ + 3,373 × 10⁷

I_x = 9,47 × 10⁷ mm⁴ = 94,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 94,7 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −52,63 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = −30/114 = −0,2631, sin 2θ_s = −110/114 = −0,9648

2θ_s = atan2(−110, −30) = −105,3°

Угол на элементе

θ_s = −52,63°

проверка: θ_s − θ_p = −52,63 − (−7,628) = −45°

Ответ

θ_s = −52,63°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 49,55 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 65 + 5·0,766 + 30·−0,6428 = 49,55 MPa

Ответ

σ_θ = 49,55 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,01333 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 15·8000³/(24·2,4 × 10¹³) = 0,01333 rad

Ответ

θ_A = 0,01333 rad

Это 0,7639°.

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 4,195 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 6000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·1500³/(48·1,32 × 10¹¹) = 3,196 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 0,9988 mm

Сложите

δ_max = 3,196 + 0,9988 = 4,195 mm

Ответ

δ_max = 4,195 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 71,19 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4200² = 71188 N = 71,19 kN

Ответ

P_cr = 71,19 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 94,46 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 94,46 mm

Ответ

d = 94,46 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 127, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials