Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 20 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (латунь) диаметром 60 mm, длиной 400 mm и E = 100 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,4 mm.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 65 kNучасток 1: Ø35 mm, 1,5 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø20 mm, 1 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

При испытании на кручение сплошной образец диаметром 12 mm закручивается моментом 75 N·m. Концы расчётной длины 200 mm поворачиваются друг относительно друга на 10,82° (материал ещё работает упруго). Найдите модуль сдвига G материала.

T = 75 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 10,82°

G = GPa

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 10 kW при 300 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 50 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 2 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mM₀ = 50 kN·m по часовой стрелке, в точке 2 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

50 kN @ 0 m20 kN @ 6 m10 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 150 × 10 mm, стенку высотой 390 mm и толщиной 14 mm и нижнюю полку 280 × 22 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 150 × 10 mmстенка: 14 × 390 mmнижняя полка: 280 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −30 MPa, σᵧ = 80 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 150 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = −30 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 25° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 30 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 70 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 70 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 51,41 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1,415 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,4/7,781 × 10⁻⁶ = 51408 N = 51,41 kN

Ответ

P = 51,41 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 206,9 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 67,56 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 206,9 MPa

Ответ

σ_max = 206,9 MPa

3.Кручение валов

Ответ: G = 39,02 GPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции и угол

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 10,82·π/180 = 0,1888 rad

Модуль сдвига

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(2036·0,1888) = 39018 MPa

G = 39,02 GPa

Ответ

G = 39,02 GPa

Для сравнения: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюминий ≈ 26 GPa.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 27,02 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Полярный момент инерции

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·20/235619 = 27,02 MPa

Ответ

τ_max = 27,02 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 33,33 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/6 = 8,333 kN (вверх)

R_A = −R_B = −8,333 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит R_A и сосредоточенный момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −8,333·2 + 50 = 33,33 kN·m

Ответ

M_x = 33,33 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 60 kN, R₂ = 20 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −40, M_D = −40, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −50 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 16,09 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

стенка: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·167,5 + 2560·80)/5560 = 127,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·15³/12 + 3000·(167,5 − 127,2)² = 4,926 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·160³/12 + 2560·(80 − 127,2)² = 1,117 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,926 × 10⁶ + 1,117 × 10⁷ = 1,609 × 10⁷ mm⁴ = 16,09 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 16,09 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 319,3 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 1500 mm², y = 417 mm

стенка: A = 5460 mm², y = 217 mm

нижняя полка: A = 6160 mm², y = 11 mm

Центр тяжести

ȳ = (1500·417 + 5460·217 + 6160·11)/13120 = 143,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 150·10³/12 + 1500·273,9² = 1,125 × 10⁸ mm⁴

стенка: 14·390³/12 + 5460·73,85² = 9,899 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 280·22³/12 + 6160·132,1² = 1,078 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,125 × 10⁸ + 9,899 × 10⁷ + 1,078 × 10⁸

I_x = 3,193 × 10⁸ mm⁴ = 319,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 319,3 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = −80,01 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, −30 − 80) = −160°

Угол на элементе

θ_p = −80,01°

Ответ

θ_p = −80,01°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 105,6 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 90 + 60·0,6428 + −30·0,766 = 105,6 MPa

Ответ

σ_θ = 105,6 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 36,99 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 36,99 mm

Ответ

δ = 36,99 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,257 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 30000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·2000³/(48·2,4 × 10¹²) = 2,083 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 0,1736 mm

Сложите

δ_max = 2,083 + 0,1736 = 2,257 mm

Ответ

δ_max = 2,257 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 95,49 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1050² = 95488 N = 95,49 kN

Ответ

P_cr = 95,49 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 75,43 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 75,43 mm

Ответ

d = 75,43 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 148,5, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials