Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 30 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (алюминий) диаметром 60 mm, длиной 300 mm и E = 70 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,3 mm.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 65 kNучасток 1: Ø25 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø12 mm, 0,5 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (латунь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 50 mm и длину 3 m; участок BC — диаметр 40 mm и длину 2 m. На свободном конце C действует крутящий момент 500 N·m. Найдите угол закручивания φ_C конца C в градусах.

T = 500 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 3 md₂ = 40 mm, L₂ = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 30 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 2 m от A действует крутящий момент 400 N·m, а на свободном конце C, ещё на 1,5 m дальше, — крутящий момент 250 N·m того же направления. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 30 mmT_B = 400 N·mT_C = 250 N·mAB = 2 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 6 kN/m от 0 до 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите изгибающий момент M_B на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 7,5 mw = 6 kN/m от 0 до 7,5 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_B = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 100 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 400 mm и стенку толщиной 6 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 100 mmH = 400 mmt_f = 22 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 80 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 130 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 200 mmвырез: 80 × 20 mmцентр отверстия: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Найдите эквивалентное напряжение по Мизесу σ_vM.

σ_x = −40 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 24 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 52,08 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·2827) = 1,516 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,3/5,76 × 10⁻⁶ = 52084 N = 52,08 kN

Ответ

P = 52,08 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 574,7 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 574,7 MPa

Ответ

σ_max = 574,7 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ_C = 9,437 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярные моменты инерции

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания каждого участка

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 500000·3000/(39000·613592) = 0,06268 rad

φ_BC = 500000·2000/(39000·251327) = 0,102 rad

Полный угол закручивания

φ_C = 0,06268 + 0,102 = 0,1647 rad = 9,437°

Ответ

φ_C = 9,437°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 122,6 MPa

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 400 = 650 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Участок с наибольшим внутренним моментом имеет наибольшее напряжение (диаметр одинаков).

|T|_max = 650 N·m

τ_max = 16·650000/(π·30³) = 122,6 MPa

Ответ

τ_max = 122,6 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 11,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 12·2,5 − 6·2,5·1,25 = 11,25 kN·m

Ответ

M_x = 11,25 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_B = −6,75 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·7,5 = 45 kN, приложена в x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·7,5·3,75

R_B = 168,8/6 = 28,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 28,13 = 16,88 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

Нагрузка на свесе, w·a, приложена на расстоянии a/2 от B и создаёт над опорой отрицательный момент (растянуты верхние волокна).

M_B = −w·a²/2 = −6·1,5²/2 = −6,75 kN·m

Ответ

M_B = −6,75 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 179,9 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 400 − 2·22 = 356 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·400³ − 94·356³)/12

I_x = 1,799 × 10⁸ mm⁴ = 179,9 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 179,9 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 131,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (40000·100 − 1600·130)/(40000 − 1600) = 98,75 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·200³/12 + 40000·1,25² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

80·20³/12 + 1600·31,25² = 1,616 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 131,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 131,8 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = 80,78 °

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, −30 − 90) = 161,6°

Угол на элементе

θ_p = 80,78°

Ответ

θ_p = 80,78°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_vM = 135,6 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 35 MPa, R = 75,66 MPa

σ₁ = 110,7 MPa, σ₂ = −40,66 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(110,7² − 110,7·(−40,66) + (−40,66)²) = 135,6 MPa

Ответ

σ_vM = 135,6 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 8,882 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 8,882 mm

Ответ

δ_max = 8,882 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 27,43 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 24000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·2500³/(48·3,96 × 10¹¹) = 19,73 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 7,706 mm

Сложите

δ_max = 19,73 + 7,706 = 27,43 mm

Ответ

δ_max = 27,43 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 24,06 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3500² = 24063 N = 24,06 kN

Ответ

P_cr = 24,06 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 12,34 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7,5 = 400

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Ответ

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials