Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 25 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa и участок (латунь) диаметром 40 mm, длиной 400 mm и E = 100 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 40 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 60 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 2,5 m от A и 1,2 m от B, приложен крутящий момент 750 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 60 mmT₀ = 750 N·ma = 2,5 mb = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 8 kN/m от 0 до 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 0 m35 kN @ 6 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 52,5 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 50 mm нагружен изгибающим моментом 1500 N·m вместе с крутящим моментом 750 N·m. На верхней поверхности, где нормальное напряжение от изгиба растягивающее и наибольшее, найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 50 mmM = 1500 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3,5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 17 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 20 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 20 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 1243 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/201,1 = 124,3 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 124,3/100000 = 0,001243 = 1243 µε

Ответ

ε = 1243 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 19,59 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 40000·314159/510509 = 24615 N

Напряжение

σ₂ = 24615/1257 = 19,59 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 19,59 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,8768 °

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·251327) = 0,0153 rad

φ = 0,0153·180/π = 0,8768°

Ответ

φ = 0,8768°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 11,95 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1,2/3,7 = 243,2 N·m

T_B = 750·2,5/3,7 = 506,8 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Определяющим является больший из двух моментов (диаметр одинаков).

τ_max = 16·506757/(π·60³) = 11,95 MPa

Ответ

τ_max = 11,95 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 7 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 16·3,5 − 8·3,5·1,75 = 7 kN·m

Ответ

M_x = 7 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 43,75 kN, R₂ = 41,25 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −40 kN·m, M_C = −36,25, M_D = −32,5, M_E = −28,75, M_F = −35, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 32,33 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (18000·75 − 1963·52,5)/(18000 − 1963) = 77,75 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·150³/12 + 18000·−2,755² = 33,89 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−25,25² = 1,559 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 32,33 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 32,33 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 28,07 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

стенка: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·212,5 + 2400·100)/8900 = 182,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·25³/12 + 6500·(212,5 − 182,2)² = 6,321 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·200³/12 + 2400·(100 − 182,2)² = 2,42 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,321 × 10⁶ + 2,42 × 10⁷ = 3,052 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 225 − 182,2 = 42,84 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·42,84/3,052 × 10⁷ = 28,07 MPa

Ответ

σ_верх = 28,07 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 46,1 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((130 − 40)/2)² + −10²) = 46,1 MPa

Ответ

τ_max = 46,1 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 129,4 MPa

Напряжения на поверхности

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·50³) = 122,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 61,12 MPa

R = √(61,12² + 30,56²) = 68,33 MPa

σ₁ = C + R = 129,4 MPa

σ₂ = C − R = −7,214 MPa

Ответ

σ₁ = 129,4 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 23,66 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 17000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 17000·3500²·1500²/(3·1,32 × 10¹²·5000) = 23,66 mm

Ответ

δ_P = 23,66 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 66,96 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·5000⁴/(384·70000·13,89) = 6,696 × 10⁷ mm⁴

I_req = 66,96 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 66,96 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 37,85 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37,85 kN

Ответ

P_cr = 37,85 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 42,68 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 42,68 mm

Ответ

d = 42,68 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 140,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials