Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 25 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (латунь) диаметром 50 mm, длиной 500 mm и E = 100 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,2 mm.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 110 kNучасток 1: Ø40 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø16 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 750 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,7 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 20 kW при 1450 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,75 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 20 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 7,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 8 kN/m от 0 до 8 mx = 7,5 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 15 kN в 3,5 mw = 6 kN/m от 0 до 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 70 MPa, σᵧ = −10 MPa и τₓᵧ = 50 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = 50 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 20° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 27 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 35,7 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,2/5,602 × 10⁻⁶ = 35700 N = 35,7 kN

Ответ

P = 35,7 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 5,69 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·500/200000 = 0,2188 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·2000/200000 = 5,471 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,69 mm

Ответ

δ = 5,69 mm

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 46,5 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·50·0,7599)) = 46,5 mm

d_i = 0,7·46,5 = 32,55 mm

Ответ

d_o = 46,5 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 42,43 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 26,97 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·131714/(π·50·0,6836)) = 26,97 mm

d_i = 0,75·26,97 = 20,23 mm

Ответ

d_o = 26,97 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 23,76 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −28 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Рассеките в x = 7,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 32 − 8·7,5 = −28 kN

Ответ

V_x = −28 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 31,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3,5 + 6·5·2,5

R_B = 127,5/5 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 25,5 = 19,5 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 19,5·3,5 − 6·3,5·1,75 = 31,5 kN·m

Ответ

M_x = 31,5 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 34,79 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

стенка: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·232,5 + 2200·110)/9700 = 204,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·25³/12 + 7500·(232,5 − 204,7)² = 6,18 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·220³/12 + 2200·(110 − 204,7)² = 2,861 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,18 × 10⁶ + 2,861 × 10⁷ = 3,479 × 10⁷ mm⁴ = 34,79 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 34,79 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 7,72 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

стенка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·190 + 3600·90)/9200 = 150,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·20³/12 + 5600·(190 − 150,9)² = 8,761 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 150,9)² = 2,306 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,761 × 10⁶ + 2,306 × 10⁷ = 3,182 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 200 − 150,9 = 49,13 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·49,13/3,182 × 10⁷ = 7,72 MPa

Ответ

σ_верх = 7,72 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = 25,67 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 70 − −10) = 51,34°

Угол на элементе

θ_p = 25,67°

Ответ

θ_p = 25,67°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −8,502 MPa

Формула преобразования

σ_θ = −10 + −40·0,766 + 50·0,6428 = −8,502 MPa

Ответ

σ_θ = −8,502 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 6,328 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 20·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 6,328 mm

Ответ

δ = 6,328 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,349 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 27000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2,349 mm

Ответ

δ_max = 2,349 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 10,2 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2100² = 10199 N = 10,2 kN

Ответ

P_cr = 10,2 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 17,77 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Ответ

σ_cr = 17,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials