Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (алюминий) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 70 GPa. Длина обоих — 300 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 150 kN. Найдите укорочение δ.

P = 150 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 30 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 50 mm, длиной 200 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 75 kW при 1000 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 8 m40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 45 kN в 3,5 mw = 5 kN/m от 0 до 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 0 MPa, σᵧ = −60 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 350 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σ_x = 0 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя равными сосредоточенными силами P в третях пролёта (на расстоянии L/3 от каждой опоры). Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине пролёта δ_max.

P = 15 kNL = 8 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,08127 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·5890 = 5,537 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 150000·300/5,537 × 10⁸ = 0,08127 mm

Ответ

δ = 0,08127 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 39,18 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 120000·1963/200 = 1,178 × 10⁶ N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·1,178 × 10⁶/1,532 × 10⁶ = 76923 N

Напряжение

σ₂ = 76923/1963 = 39,18 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 39,18 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 5,542 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Ответ

φ = 5,542°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 9,375 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Полярный момент инерции

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·40/3,056 × 10⁶ = 9,375 MPa

Ответ

τ_max = 9,375 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 33,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 93,33, M_C = 106,7, M_D = 120, M_E = 133,3 kN·m, M_F = 66,67, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 133,3 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 60,38 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3,5 + 5·5·2,5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 44 = 26 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 26·3,5 − 5·3,5·1,75 = 60,38 kN·m

Ответ

M_x = 60,38 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 22,16 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

стенка: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·205 + 4000·100)/5000 = 121 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·10³/12 + 1000·(205 − 121)² = 7,064 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·200³/12 + 4000·(100 − 121)² = 1,51 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,064 × 10⁶ + 1,51 × 10⁷ = 2,216 × 10⁷ mm⁴ = 22,16 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 22,16 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 92,5 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

стенка: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·207,5 + 3600·100)/7500 = 155,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·15³/12 + 3900·(207,5 − 155,9)² = 1,046 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·200³/12 + 3600·(100 − 155,9)² = 2,325 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,046 × 10⁷ + 2,325 × 10⁷ = 3,371 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 155,9 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·155,9/3,371 × 10⁷ = 92,5 MPa

Ответ

σ_низ = 92,5 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = 76,72 °

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = −50/55,9 = −0,8944, sin 2θ_s = −(−25)/55,9 = 0,4472

2θ_s = atan2(25, −50) = 153,4°

Угол на элементе

θ_s = 76,72°

проверка: θ_s − θ_p = 76,72 − (−58,28) = 135°

Ответ

θ_s = 76,72°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,917

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = −30 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 37,08 MPa, σ₂ = −97,08 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(37,08² − 37,08·(−97,08) + (−97,08)²) = 120 MPa

n = 350/120 = 2,917

Ответ

n = 2,917

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 12,84 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 12,84 mm

Ответ

δ_max = 12,84 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 46,36 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 15000 N, L = 8000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Одна сила в точке L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 23,18 mm

Складываем обе силы

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 46,36 mm

Ответ

δ_max = 46,36 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 34,88 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

Ответ

P_cr = 34,88 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 7,896 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Ответ

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials