Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (алюминий) под действием осевой нагрузки.

P = 95 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 25 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 160 MPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 100 GPa и допускаемым напряжением 70 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 50 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 0,8 m от A и 2,5 m от B, приложен крутящий момент 500 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 50 mmT₀ = 500 N·ma = 0,8 mb = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 45 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 2,5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mM₀ = 45 kN·m по часовой стрелке, в точке 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 0 m50 kN @ 12 m15 kN @ 4 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 40 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 60 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmцентр отверстия: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmM = 20 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (растяжение положительно). Элемент повёрнут на 30° против часовой стрелки. Найдите нормальное напряжение σ_y′ на гранях повёрнутого элемента, перпендикулярных повёрнутой оси y′.

σ_x = −80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 30 mm нагружен осевой растягивающей силой 200 kN вместе с крутящим моментом 750 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

d = 30 mmF = 200 kNT = 750 N·m

τ_max = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 21 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 140 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 140 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 6,912 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/490,9 = 193,5 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 193,5/70000 = 0,002765 = 2765 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,002765·2500 mm = 6,912 mm

Ответ

δ = 6,912 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 662,5 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·8482 = 9,464 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,0008, 0,0007) = 0,0007 (латунь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0007·9,464 × 10⁸ = 662483 N = 662,5 kN

Ответ

P_max = 662,5 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 14,03 °

Полярный момент инерции

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·15708) = 0,2449 rad

φ = 0,2449·180/π = 14,03°

Ответ

φ = 14,03°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 15,43 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·2,5/3,3 = 378,8 N·m

T_B = 500·0,8/3,3 = 121,2 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Определяющим является больший из двух моментов (диаметр одинаков).

τ_max = 16·378788/(π·50³) = 15,43 MPa

Ответ

τ_max = 15,43 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 16,88 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/4 = 11,25 kN (вверх)

R_A = −R_B = −11,25 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит R_A и сосредоточенный момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −11,25·2,5 + 45 = 16,88 kN·m

Ответ

M_x = 16,88 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 80,67 kN, R₂ = 92,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −120, M_C = −94,67, M_D = −131,3, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −200 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 41,76 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (22500·75 − 1257·60)/(22500 − 1257) = 75,89 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·150³/12 + 22500·−0,8873² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−15,89² = 0,4428 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 41,76 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 41,76 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 46,49 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

стенка: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·167,5 + 1920·80)/6420 = 141,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·15³/12 + 4500·(167,5 − 141,3)² = 3,166 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·160³/12 + 1920·(80 − 141,3)² = 1,132 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,166 × 10⁶ + 1,132 × 10⁷ = 1,448 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 175 − 141,3 = 33,67 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·33,67/1,448 × 10⁷ = 46,49 MPa

Ответ

σ_верх = 46,49 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_y′ = −17,68 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Формула преобразования для грани y′

σ_y′ = −50 − (−30)·0,5 − (−20)·0,866 = −17,68 MPa

Проверка

Сумма нормальных напряжений не меняется при повороте.

σ_x′ = −82,32 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −100 = σ_x + σ_y

Ответ

σ_y′ = −17,68 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 200,1 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = 200000/(π·30²/4) = 200000/706,9 = 282,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 141,5 MPa

R = √(141,5² + 141,5²) = 200,1 MPa

Ответ

τ_max = 200,1 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,009926 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 15·3000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,009926 rad

Ответ

θ_A = 0,009926 rad

Это 0,5687°.

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 55,35 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 21000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 55,35 mm

Ответ

δ_max = 55,35 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 71,06 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2500² = 71061 N = 71,06 kN

Ответ

P_cr = 71,06 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 41,23 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 41,23 mm

Ответ

d = 41,23 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 97,02, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials