Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение
σ = F/A
Деформация
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Удлинение
ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация
εT = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение
τ = T·r/J
Сплошной вал
J = πd⁴/32
Полый вал
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания
φ = TL/(GJ)
Мощность
P = T·ω = 2πnT/60

Метод

  1. Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
  2. Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
  3. Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
  4. Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр
C = (σx + σy)/2
Радиус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Главные напряжения
σ1,2 = C ± R
Главное направление
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Наклонная площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Метод

  1. Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
  4. Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта
δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка
δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце
δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка
δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения
δ = δ1 + δ2

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера
Pcr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины
K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение
σcr = Pcr/A
Гибкость
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя
Ø 16 mmЛатунь1,5 mP = 120 kN

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Осевое напряжение и деформацияСложная
Ø 40 mmМедь0,5 mØ 16 mmЛатунь2 mP = 35 kN

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 35 kNучасток 1: Ø40 mm, 0,5 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø16 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Кручение валовСредняя
T = 200 N·md = 50 mmL = 0,5 mφ = ?

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 200 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Кручение валовСложная
Td = ?

Сплошной вал должен передавать 75 kW при 300 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 75 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNAB1,5 m1 m2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент Mmax в балке.

L = 5 mP1 = 55 kN в 1,5 mP2 = 45 kN в 2,5 m
Mmax = kN·m
6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
30 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 6 m25 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
300180t = 18xразмеры в mm

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 300 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 180 mm. Толщина основания и полок 18 mm. Найдите его момент инерции Ix относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 300 mmh = 180 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Центр тяжести и момент инерцииСложная
1603402210xM = 150 kN·mразмеры в mm

Симметричный двутавр имеет полки шириной 160 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 340 mm и стенку толщиной 10 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 150 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σj в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 160 mmH = 340 mmtf = 22 mmtw = 10 mmM = 150 kN·m
σj = MPa
9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя
σx​ = 100σy​ = −30MPaτxy​ = ?

В точке σₓ = 100 MPa и σᵧ = −30 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τxy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 110 MPa?

σx = 100 MPaσy = −30 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная
σx​ = 70σy​ = −60τxy​ = 40MPa

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −60 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). Предел текучести материала равен 250 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σx = 70 MPaσy = −60 MPaτxy = 40 MPaσY = 250 MPa
n =
11.Прогиб балкиСредняя
w = 4 kN/mδL = 3 m

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Прогиб балкиСложная
w = 10 kN/mAB5 m

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию RB опоры B.

L = 5 mw = 10 kN/m
RB = kN
13.Устойчивость колоннСредняя
PL = 3 md = 50 mmпоперечное сечение

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Устойчивость колоннСложная
P = 5 kNL = 5 md = ?поперечное сечение

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 5 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 5 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (сталь)
d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 5968 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 120·1000/201,1 = 596,8 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 596,8/100000 = 0,005968 = 5968 µε

Ответ

ε = 5968 µε
2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 3,601 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 27,85 MPa
σ2 = 174,1 MPa

Сложите удлинения участков

δ1 = σ1L1/E1 = 27,85·500/117000 = 0,119 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 174,1·2000/100000 = 3,482 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,601 mm

Ответ

δ = 3,601 mm
3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,3591 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τmax = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(do⁴ − di⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·613592) = 0,006268 rad
φ = 0,006268·180/π = 0,3591°

Ответ

φ = 0,3591°
4.Кручение валов

Ответ: d = 54,53 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τmax = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(do⁴ − di⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·75)) = 54,53 mm

Ответ

d = 54,53 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mmax = 97,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·1,5 + 45·2,5
RB = 195/5 = 39 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 39 = 61 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P1: M = RA·1,5 = 61·1,5 = 91,5 kN·m
под P2: M = RB·2,5 = 39·2,5 = 97,5 kN·m

Наибольшее значение

Mmax = 97,5 kN·m (под P2)

Ответ

Mmax = 97,5 kN·m
6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 5 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 4 kN, R2 = 51 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 4, MC = 8, MD = 12, ME = −9, MF = −30 kN·m, MG = 0

Ответ

Отметка F: MF = −30 kN·m
7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: Ix = 35,61 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A1 = 300·18 = 5400 mm², y1 = 9 mm
две полки: A2 = 2·18·162 = 5832 mm², y2 = 18 + 162/2 = 99 mm

Центр тяжести

ȳ = (5400·9 + 5832·99)/11232 = 55,73 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 300·18³/12 + 5400·(9 − 55,73)² = 1,194 × 10⁷ mm⁴
две полки: 2·18·162³/12 + 5832·(99 − 55,73)² = 2,367 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,194 × 10⁷ + 2,367 × 10⁷
Ix = 3,561 × 10⁷ mm⁴ = 35,61 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ix = 35,61 × 10⁶ mm⁴
8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σj = 111,1 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − tw) и высоту hw = H − 2tf и отнесены к оси x.

hw = 340 − 2·22 = 296 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·340³ − 150·296³)/12
Ix = 1,999 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 170 − 22 = 148 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·148/1,999 × 10⁸ = 111,1 MPa

Ответ

σj = 111,1 MPa
9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τxy = 37,42 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (100 + (−30))/2 = 35 MPa
R = σ1 − C = 110 − 35 = 75 MPa
στxyCσ1​σ2​

Касательное напряжение

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 65²) = 37,42 MPa

Ответ

τxy = 37,42 MPa
10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 1,89

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σY; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Главные напряжения

C = 5 MPa, R = 76,32 MPa
σ1 = 81,32 MPa, σ2 = −71,32 MPa, σ3 = 0

Мизес

σvM = √(81,32² − 81,32·(−71,32) + (−71,32)²) = 132,3 MPa
n = 250/132,3 = 1,89

Ответ

n = 1,89

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 25,16 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 25,16 mm

Ответ

δ = 25,16 mm
12.Прогиб балки

Ответ: RB = 18,75 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δload = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры RB поднимает свободный конец на RBL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·5/8 = 18,75 kN

Ответ

RB = 18,75 kN
13.Устойчивость колонн

Ответ: Pcr = 94,2 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

Ответ

Pcr = 94,2 kN
14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 62,73 mm

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при Pcr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Требуемая критическая сила

Pcr = n·P = 3·5000 = 15000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,73 mm

Ответ

d = 62,73 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 637,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials