Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (сталь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 110 kNучасток 1: Ø35 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø12 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (латунь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 50 mm и длину 0,8 m; участок BC — диаметр 30 mm и длину 0,5 m. На свободном конце C действует крутящий момент 1000 N·m. Найдите угол закручивания φ_C конца C в градусах.

T = 1000 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 50 kW при 1800 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 9,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 3 kN/m от 0 до 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 6 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 140 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 200 mm. Толщина основания и полок 8 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 140 mmh = 200 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 160 × 12 mm, стенку высотой 320 mm и толщиной 10 mm и нижнюю полку 240 × 18 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 160 × 12 mmстенка: 10 × 320 mmнижняя полка: 240 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 20 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 25 mm нагружен осевой сжимающей силой 90 kN вместе с крутящим моментом 250 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 25 mmF = −90 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 6 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите величину изгибающего момента M_A в заделке.

L = 6 mP = 80 kN в 3 m

M_A = kN·m

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 105 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 105 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 247,6 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/200000 = 0,0002476 = 247,6 µε

Ответ

ε = 247,6 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 8,599 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114,3·500/200000 = 0,2858 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 972,6·1000/117000 = 8,313 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,599 mm

Ответ

δ = 8,599 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ_C = 11,15 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярные моменты инерции

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания каждого участка

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·800/(39000·613592) = 0,03343 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·500/(39000·79522) = 0,1612 rad

Полный угол закручивания

φ_C = 0,03343 + 0,1612 = 0,1947 rad = 11,15°

Ответ

φ_C = 11,15°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 4,266 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·37,5/2,332 × 10⁶ = 4,266 MPa

Ответ

τ_max = 4,266 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 7,125 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Рассеките в x = 9,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 15·9,5 − 3·9,5·4,75 = 7,125 kN·m

Ответ

M_x = 7,125 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 6 kN, R₂ = 46 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 2, M_C = −4, M_D = −18, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 77,28 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 140·8 = 1120 mm², y₁ = 4 mm

две полки: A₂ = 2·8·192 = 3072 mm², y₂ = 8 + 192/2 = 104 mm

Центр тяжести

ȳ = (1120·4 + 3072·104)/4192 = 77,28 mm

Ответ

ȳ = 77,28 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 185,8 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 1920 mm², y = 344 mm

стенка: A = 3200 mm², y = 178 mm

нижняя полка: A = 4320 mm², y = 9 mm

Центр тяжести

ȳ = (1920·344 + 3200·178 + 4320·9)/9440 = 134,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 160·12³/12 + 1920·209,6² = 8,435 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·320³/12 + 3200·43,58² = 3,338 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 240·18³/12 + 4320·125,4² = 6,808 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,435 × 10⁷ + 3,338 × 10⁷ + 6,808 × 10⁷

I_x = 1,858 × 10⁸ mm⁴ = 185,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 185,8 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 39,05 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((20 − −30)/2)² + 30²) = 39,05 MPa

Ответ

τ_max = 39,05 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 30,98 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = −90000/(π·25²/4) = −90000/490,9 = −183,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = −91,67 MPa

R = √((−91,67)² + 81,49²) = 122,7 MPa

σ₁ = C + R = 30,98 MPa

σ₂ = C − R = −214,3 MPa

Ответ

σ₁ = 30,98 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 9,588 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 9,588 mm

Ответ

δ = 9,588 mm

12.Прогиб балки

Ответ: M_A = 90 kN·m

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Момент в заделке

Моменты нагрузок и реакции опоры относительно A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 240 − 150 = 90 kN·m

Ответ

M_A = 90 kN·m

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 4,606 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2000² = 4606 N = 4,606 kN

Ответ

P_cr = 4,606 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 78,07 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·105000 = 315000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 78,07 mm

Ответ

d = 78,07 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 102,5, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials