Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 20 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (медь) диаметром 60 mm, длиной 200 mm и E = 120 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,25 mm.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 20 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 150 MPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 100 GPa и допускаемым напряжением 70 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 200 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 25 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 2 m от A и 1,5 m от B, приложен крутящий момент 1000 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 25 mmT₀ = 1000 N·ma = 2 mb = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 4 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

60 kN @ 12 m40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 30 MPa, σᵧ = 0 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 350 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σ_x = 160 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 15 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 25 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 46,61 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·2827) = 5,895 × 10⁻⁷ mm/N

Нагрузка

P = 0,25/5,364 × 10⁻⁶ = 46606 N = 46,61 kN

Ответ

P = 46,61 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 637,7 kN

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,00075, 0,0007) = 0,0007 (латунь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0007·9,111 × 10⁸ = 637743 N = 637,7 kN

Ответ

P_max = 637,7 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 2,988 °

Полярный момент инерции

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(80000·38350) = 0,05215 rad

φ = 0,05215·180/π = 2,988°

Ответ

φ = 2,988°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 186,3 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1,5/3,5 = 428,6 N·m

T_B = 1000·2/3,5 = 571,4 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Определяющим является больший из двух моментов (диаметр одинаков).

τ_max = 16·571429/(π·25³) = 186,3 MPa

Ответ

τ_max = 186,3 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 84,67 kN, R₂ = 66,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 153,3, M_C = 274,7 kN·m, M_D = 254, M_E = 201,3, M_F = 116,7, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 274,7 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 0 kN, R₂ = 100 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 0, M_C = −80, M_D = −160, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −240 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 17,13 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

стенка: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·205 + 2000·100)/3800 = 149,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·10³/12 + 1800·(205 − 149,7)² = 5,512 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·200³/12 + 2000·(100 − 149,7)² = 1,161 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,512 × 10⁶ + 1,161 × 10⁷ = 1,713 × 10⁷ mm⁴ = 17,13 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 17,13 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 56,5 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

стенка: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·305 + 2400·150)/4600 = 224,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·10³/12 + 2200·(305 − 224,1)² = 1,441 × 10⁷ mm⁴

стенка: 8·300³/12 + 2400·(150 − 224,1)² = 3,119 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,441 × 10⁷ + 3,119 × 10⁷ = 4,559 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 310 − 224,1 = 85,87 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·85,87/4,559 × 10⁷ = 56,5 MPa

Ответ

σ_верх = 56,5 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 42,72 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((30 − 0)/2)² + −40²) = 42,72 MPa

Ответ

τ_max = 42,72 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,017

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 115 MPa, R = 75 MPa

σ₁ = 190 MPa, σ₂ = 40 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(190² − 190·40 + 40²) = 173,5 MPa

n = 350/173,5 = 2,017

Ответ

n = 2,017

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 6,78 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 15000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,507 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001507 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6,78 mm

Ответ

δ_B = 6,78 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 6,215 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 25000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 6,215 mm

Ответ

δ_max = 6,215 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 2,481 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Ответ

P_cr = 2,481 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 1,554 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/666,7² = 1,554 MPa

Ответ

σ_cr = 1,554 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials