Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (бронза) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 110 GPa. Длина обоих — 800 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 50 kN. Найдите укорочение δ.

P = 50 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 25 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 40 mm, длиной 200 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 50 kW при 3000 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 50 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 6 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 25 kN в 6 mw = 4 kN/m от 0 до 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 130 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 200 mm и стенку толщиной 10 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 130 mmH = 200 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 50 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = 20 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = −50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Найдите эквивалентное напряжение по Мизесу σ_vM.

σ_x = −10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюминий)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 28 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 25 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 25 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,1044 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·2199 = 3,833 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 50000·800/3,833 × 10⁸ = 0,1044 mm

Ответ

δ = 0,1044 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 55,49 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 120000·1257/200 = 753982 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·753982/1,081 × 10⁶ = 69734 N

Напряжение

σ₂ = 69734/1257 = 55,49 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 55,49 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 22,99 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·38350) = 0,4012 rad

φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Ответ

φ = 22,99°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 16,67 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Полярный момент инерции

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·20/190984 = 16,67 MPa

Ответ

τ_max = 16,67 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 40 kN, R₂ = 40 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 120, M_D = 150 kN·m, M_E = 120, M_F = 70, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 150 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 108 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·6 + 4·10·5

R_B = 350/10 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 35 = 30 kN

Рассеките в x = 6 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 30·6 − 4·6·3 = 108 kN·m

Ответ

M_x = 108 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 487 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 200 − 2·22 = 156 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·200³ − 120·156³)/12

I_x = 4,87 × 10⁷ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 100 mm

S_x = I/c = 4,87 × 10⁷/100

S_x = 487025 mm³ = 487 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 487 × 10³ mm³

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 12,82 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (2000·290 + 3360·140)/5360 = 196 mm

верхняя кромка: c = 300 − 196 = 104 mm

Момент инерции сечения

I = 100·20³/12 + 2000·94,03² + 12·280³/12 + 3360·55,97² = 5,023 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 90·5,023 × 10⁷/104 = 43,45 kN·m

нижняя кромка: M = 50·5,023 × 10⁷/196 = 12,82 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 12,82 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 12,82 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 45 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = −65 MPa, R = √(15² + 20²) = 25 MPa

σ₁ = −40 MPa, σ₂ = −90 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(50, 40, 90)/2 = 45 MPa

Ответ

τ_abs = 45 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_vM = 143,2 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 55 MPa, R = 76,32 MPa

σ₁ = 131,3 MPa, σ₂ = −21,32 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(131,3² − 131,3·(−21,32) + (−21,32)²) = 143,2 MPa

Ответ

σ_vM = 143,2 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,0265 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 2·8000³/(24·1,61 × 10¹²) = 0,0265 rad

Ответ

θ_A = 0,0265 rad

Это 1,518°.

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 3,235 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 28000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·2000³/(48·1,7 × 10¹²) = 2,745 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 0,4902 mm

Сложите

δ_max = 2,745 + 0,4902 = 3,235 mm

Ответ

δ_max = 3,235 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 23,87 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2100² = 23872 N = 23,87 kN

Ответ

P_cr = 23,87 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 37,49 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 37,49 mm

Ответ

d = 37,49 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 186,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials