Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (алюминий) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa и участок (алюминий) диаметром 30 mm, длиной 400 mm и E = 70 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 80 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) диаметром 20 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 2 m от A и 3 m от B, приложен крутящий момент 250 N·m. Найдите реактивный момент T_A в стене A.

d = 20 mmT₀ = 250 N·ma = 2 mb = 3 m

T_A = N·m

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 5,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 10 kN/m от 0 до 6 mx = 5,5 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 0 m40 kN @ 6 m8 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 280 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 70 mm. Толщина основания и полок 16 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 280 mmh = 70 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 30 MPa при растяжении и 100 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −20 MPa, σᵧ = −60 MPa и τₓᵧ = 50 MPa (растяжение положительно). Элемент повёрнут на 45° по часовой стрелке. Найдите нормальное напряжение σ_y′ на гранях повёрнутого элемента, перпендикулярных повёрнутой оси y′.

σ_x = −20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 0 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = 50 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 45° по часовой стрелке от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 3,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 29 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 50 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 50 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 5002 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 110·1000/314,2 = 350,1 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 350,1/70000 = 0,005002 = 5002 µε

Ответ

ε = 5002 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 42,02 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 70000·706,9/400 = 123700 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 80000·123700/333140 = 29705 N

Напряжение

σ₂ = 29705/706,9 = 42,02 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 42,02 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,5986 °

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·613592) = 0,01045 rad

φ = 0,01045·180/π = 0,5986°

Ответ

φ = 0,5986°

4.Кручение валов

Ответ: T_A = 150 N·m

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·3/5 = 150 N·m

T_B = 250·2/5 = 100 N·m

Ответ

T_A = 150 N·m

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −25 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Рассеките в x = 5,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 30 − 10·5,5 = −25 kN

Ответ

V_x = −25 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 25,33 kN, R₂ = 68,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −38,67, M_D = −55,33, M_E = −80 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −80 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 17,74 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 280·16 = 4480 mm², y₁ = 8 mm

две полки: A₂ = 2·16·54 = 1728 mm², y₂ = 16 + 54/2 = 43 mm

Центр тяжести

ȳ = (4480·8 + 1728·43)/6208 = 17,74 mm

Ответ

ȳ = 17,74 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 7,764 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (4200·255 + 3360·120)/7560 = 195 mm

верхняя кромка: c = 270 − 195 = 75 mm

Момент инерции сечения

I = 140·30³/12 + 4200·60² + 14·240³/12 + 3360·75² = 5,046 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 100·5,046 × 10⁷/75 = 67,28 kN·m

нижняя кромка: M = 30·5,046 × 10⁷/195 = 7,764 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 7,764 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 7,764 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_y′ = 10 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Формула преобразования для грани y′

σ_y′ = −40 − 20·0 − 50·(−1) = 10 MPa

Проверка

Сумма нормальных напряжений не меняется при повороте.

σ_x′ = −90 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −80 = σ_x + σ_y

Ответ

σ_y′ = 10 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −60 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −−60·−1 + 50·0 = −60 MPa

Ответ

τ_θ = −60 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 34,03 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·5,95 × 10¹¹) = 34,03 mm

Ответ

δ = 34,03 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 9,469 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 29000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 9,469 mm

Ответ

δ_max = 9,469 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 158,8 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158,8 kN

Ответ

P_cr = 158,8 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 85,8 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 85,8 mm

Ответ

d = 85,8 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 163,2, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials