Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 40 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (бронза) диаметром 60 mm, длиной 400 mm и E = 110 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,25 mm.

участок 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 30 kNучасток 1: Ø30 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø12 mm, 1,5 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 100 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,8 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 50 kW при 750 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 2 kN/m от 0 до 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 6 mw = 10 kN/m от 0 до 6 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 190 × 24 mm, стенку высотой 220 mm и толщиной 16 mm и нижнюю полку 260 × 24 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 190 × 24 mmстенка: 16 × 220 mmнижняя полка: 260 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 160 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 460 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σ_x = 160 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 3 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 12 kNw = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 140 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 140 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 86,88 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1,286 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,25/2,878 × 10⁻⁶ = 86876 N = 86,88 kN

Ответ

P = 86,88 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 265,3 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 265,3 MPa

Ответ

σ_max = 265,3 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 25,84 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0,5904)) = 25,84 mm

d_i = 0,8·25,84 = 20,67 mm

Ответ

d_o = 25,84 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 21,68 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 13,02 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·37,5/1,834 × 10⁶ = 13,02 MPa

Ответ

τ_max = 13,02 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 6 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 5·3 − 2·3·1,5 = 6 kN·m

Ответ

M_x = 6 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 28,8 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·6·3

R_B = 180/5 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 36 = 24 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 24/10 = 2,4 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 24²/(2·10) = 28,8 kN·m

Ответ

M_max = 28,8 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 7,369 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

стенка: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·115 + 2000·50)/5600 = 91,79 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·30³/12 + 3600·(115 − 91,79)² = 2,21 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·100³/12 + 2000·(50 − 91,79)² = 5,159 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,21 × 10⁶ + 5,159 × 10⁶ = 7,369 × 10⁶ mm⁴ = 7,369 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 7,369 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 172,5 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 4560 mm², y = 256 mm

стенка: A = 3520 mm², y = 134 mm

нижняя полка: A = 6240 mm², y = 12 mm

Центр тяжести

ȳ = (4560·256 + 3520·134 + 6240·12)/14320 = 119,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 190·24³/12 + 4560·136,3² = 8,495 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·220³/12 + 3520·14,31² = 1,492 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 260·24³/12 + 6240·107,7² = 7,266 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,495 × 10⁷ + 1,492 × 10⁷ + 7,266 × 10⁷

I_x = 1,725 × 10⁸ mm⁴ = 172,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 172,5 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = −33,69 °

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 160 − 110) = −67,38°

Угол на элементе

θ_p = −33,69°

Ответ

θ_p = −33,69°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,734

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 140 MPa, R = 53,85 MPa

σ₁ = 193,9 MPa, σ₂ = 86,15 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(193,9² − 193,9·86,15 + 86,15²) = 168,2 MPa

n = 460/168,2 = 2,734

Ответ

n = 2,734

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 2,435 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 3000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 3000·1000²·3000²/(3·9,24 × 10¹¹·4000) = 2,435 mm

Ответ

δ_P = 2,435 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 9,598 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 12000 N, w = 15 N/mm, L = 6000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·6000³/(48·3,2 × 10¹³) = 1,688 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 7,91 mm

Сложите

δ_max = 1,688 + 7,91 = 9,598 mm

Ответ

δ_max = 9,598 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 3,312 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Ответ

P_cr = 3,312 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 92,19 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 92,19 mm

Ответ

d = 92,19 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 216,9, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials