Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 500 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 80 kN. Найдите укорочение δ.

P = 80 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 85 kNучасток 1: Ø25 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø20 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (алюминий; наружный диаметр 30 mm, внутренний диаметр 18 mm, длина 0,5 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 100 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 100 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) передаёт 10 kW при 1500 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 40 MPa, а угол закручивания — 1° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP₁ = 80 kN в 3,5 mP₂ = 15 kN в 4 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите изгибающий момент M_B на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6,5 mw = 10 kN/m от 0 до 6,5 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_B = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 30 MPa при растяжении и 150 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa и τₓᵧ = 10 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = 130 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −30 MPa, σᵧ = 100 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 9 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 55 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 55 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,05372 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5027 = 7,446 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 80000·500/7,446 × 10⁸ = 0,05372 mm

Ответ

δ = 0,05372 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 270,6 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 270,6 MPa

Ответ

σ_max = 270,6 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 1,592 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Угол закручивания

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·500/(26000·69216) = 0,02778 rad

φ = 0,02778·180/π = 1,592°

Ответ

φ = 1,592°

4.Кручение валов

Ответ: d = 31,24 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·40)) = 20,09 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 31,24 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(20,09, 31,24) = 31,24 mm

Ответ

d = 31,24 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 134,2 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·3,5 + 15·4

R_B = 340/6 = 56,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 56,67 = 38,33 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·3,5 = 38,33·3,5 = 134,2 kN·m

под P₂: M = R_B·2 = 56,67·2 = 113,3 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 134,2 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 134,2 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_B = −11,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·6,5 = 65 kN, приложена в x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·6,5·3,25

R_B = 211,3/5 = 42,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 42,25 = 22,75 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

Нагрузка на свесе, w·a, приложена на расстоянии a/2 от B и создаёт над опорой отрицательный момент (растянуты верхние волокна).

M_B = −w·a²/2 = −10·1,5²/2 = −11,25 kN·m

Ответ

M_B = −11,25 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 5,079 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

стенка: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·130 + 960·60)/4960 = 116,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·20³/12 + 4000·(130 − 116,5)² = 867569 mm⁴

стенка: 8·120³/12 + 960·(60 − 116,5)² = 4,211 × 10⁶ mm⁴

I_x = 867569 + 4,211 × 10⁶ = 5,079 × 10⁶ mm⁴ = 5,079 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 5,079 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 3,084 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (5400·135 + 2160·60)/7560 = 113,6 mm

верхняя кромка: c = 150 − 113,6 = 36,43 mm

Момент инерции сечения

I = 180·30³/12 + 5400·21,43² + 18·120³/12 + 2160·53,57² = 1,168 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 150·1,168 × 10⁷/36,43 = 48,08 kN·m

нижняя кромка: M = 30·1,168 × 10⁷/113,6 = 3,084 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 3,084 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 3,084 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 65,41 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = 70 MPa, R = √(60² + 10²) = 60,83 MPa

σ₁ = 130,8 MPa, σ₂ = 9,172 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(121,7, 130,8, 9,172)/2 = 65,41 MPa

Ответ

τ_abs = 65,41 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 28,48 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 35 + −65·0,5 + 30·0,866 = 28,48 MPa

Ответ

σ_θ = 28,48 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 38,1 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 10·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 38,1 mm

Ответ

δ = 38,1 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,249 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 9000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·2000³/(48·2,52 × 10¹²) = 0,5952 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 1,653 mm

Сложите

δ_max = 0,5952 + 1,653 = 2,249 mm

Ответ

δ_max = 2,249 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 23,03 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1250² = 23029 N = 23,03 kN

Ответ

P_cr = 23,03 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 78,59 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 78,59 mm

Ответ

d = 78,59 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 142,5, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials