Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (латунь) под действием осевой нагрузки.

P = 105 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 90 kNучасток 1: Ø25 mm, 1,5 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø12 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 20 kW при 1800 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,6 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 20 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

20 kN @ 10 m35 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 15 kN в 5 mw = 4 kN/m от 0 до 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 160 mm, наружную высоту H = 250 mm и одинаковую толщину стенок t = 6 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 160 mmH = 250 mmt = 6 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 110 × 22 mm, стенку высотой 260 mm и толщиной 10 mm и нижнюю полку 160 × 14 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 110 × 22 mmстенка: 10 × 260 mmнижняя полка: 160 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 90 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −10 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 355 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = −40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 23 kNw = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 2,228 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/706,9 = 148,5 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 148,5/100000 = 0,001485 = 1485 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,001485·1500 mm = 2,228 mm

Ответ

δ = 2,228 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 6,329 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 183,3 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 183,3·1500/117000 = 2,351 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795,8·500/100000 = 3,979 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,329 mm

Ответ

δ = 6,329 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 1,754 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Ответ

φ = 1,754°

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 23,16 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 106,1 N·m = 106103 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·106103/(π·50·0,8704)) = 23,16 mm

d_i = 0,6·23,16 = 13,89 mm

Ответ

d_o = 23,16 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 22,11 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 15 kN, R₂ = 40 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60, M_D = 90, M_E = 120 kN·m, M_F = 80, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 120 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 22,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·5 + 4·6·3

R_B = 147/6 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 24,5 = 14,5 kN

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 14,5·5 − 4·5·2,5 = 22,5 kN·m

Ответ

M_x = 22,5 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 93,85 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 148 mm, h = 238 mm

A = BH − bh = 160·250 − 148·238 = 4776 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4,206 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(4,206 × 10⁷/4776) = 93,85 mm

Ответ

r = 93,85 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 104,8 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2420 mm², y = 285 mm

стенка: A = 2600 mm², y = 144 mm

нижняя полка: A = 2240 mm², y = 7 mm

Центр тяжести

ȳ = (2420·285 + 2600·144 + 2240·7)/7260 = 148,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 110·22³/12 + 2420·136,3² = 4,504 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·260³/12 + 2600·4,73² = 1,47 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 160·14³/12 + 2240·141,7² = 4,503 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,504 × 10⁷ + 1,47 × 10⁷ + 4,503 × 10⁷

I_x = 1,048 × 10⁸ mm⁴ = 104,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 104,8 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 67,08 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((90 − 30)/2)² + 60²) = 67,08 MPa

Ответ

τ_max = 67,08 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 4,155

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = −25 MPa, R = 42,72 MPa

σ₁ = 17,72 MPa, σ₂ = −67,72 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 85,44 MPa

n = 355/85,44 = 4,155

Ответ

n = 4,155

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 38,1 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·8000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 38,1 mm

Ответ

δ_max = 38,1 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 58,87 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 23000 N, w = 10 N/mm, L = 5000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·5000³/(48·2,4 × 10¹²) = 24,96 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 33,91 mm

Сложите

δ_max = 24,96 + 33,91 = 58,87 mm

Ответ

δ_max = 58,87 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 3,553 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·5000 = 10000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/10000² = 3553 N = 3,553 kN

Ответ

P_cr = 3,553 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 62,66 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Ответ

σ_cr = 62,66 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials