Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 30 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (алюминий) диаметром 30 mm, длиной 300 mm и E = 70 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,4 mm.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 55 kNучасток 1: Ø35 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø20 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 2000 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,7 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 80 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 2000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 50 kW при 1450 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mP₁ = 80 kN в 1 mP₂ = 20 kN в 2,5 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 7 mw = 5 kN/m от 0 до 7 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 130 mm и толщиной 10 mm, полную высоту 420 mm и стенку толщиной 6 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 130 mmH = 420 mmt_f = 10 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 50 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 180 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmвырез: 50 × 20 mmцентр отверстия: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −50 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 25° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 60 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 60 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 38,81 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·706,9) = 6,063 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,4/1,031 × 10⁻⁵ = 38808 N = 38,81 kN

Ответ

P = 38,81 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 1,925 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 57,17 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 57,17·1500/200000 = 0,4287 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·1000/117000 = 1,496 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,925 mm

Ответ

δ = 1,925 mm

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 55,13 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0,7599)) = 55,13 mm

d_i = 0,7·55,13 = 38,59 mm

Ответ

d_o = 55,13 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 50,31 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: d = 28,17 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·329286/(π·75)) = 28,17 mm

Ответ

d = 28,17 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 74 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 80·1 + 20·2,5

R_B = 130/5 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 26 = 74 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1 = 74·1 = 74 kN·m

под P₂: M = R_B·2,5 = 26·2,5 = 65 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 74 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 74 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 21,27 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·7·3,5

R_B = 122,5/6 = 20,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 20,42 = 14,58 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 14,58/5 = 2,917 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 14,58²/(2·5) = 21,27 kN·m

Ответ

M_max = 21,27 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 141,3 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 420 − 2·10 = 400 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·420³ − 124·400³)/12

I_x = 1,413 × 10⁸ mm⁴ = 141,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 141,3 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 449,1 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 1000·180)/(60000 − 1000) = 149,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·0,5085² = 450 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

50·20³/12 + 1000·30,51² = 0,9641 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 449,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 449,1 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = 86,44 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, −50 − 110) = 172,9°

Угол на элементе

θ_p = 86,44°

Ответ

θ_p = 86,44°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 41,46 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 15 + 65·0,6428 + −20·0,766 = 41,46 MPa

Ответ

σ_θ = 41,46 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,01 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 15·8000³/(24·3,2 × 10¹³) = 0,01 rad

Ответ

θ_A = 0,01 rad

Это 0,573°.

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,157 × 10⁷ mm⁴

I_req = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 21,57 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 197,7 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1750² = 197744 N = 197,7 kN

Ответ

P_cr = 197,7 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 28,89 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 28,89 mm

Ответ

d = 28,89 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 103,8, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials