Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (медь) под действием осевой нагрузки.

P = 75 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 100 kNучасток 1: Ø25 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø20 mm, 0,5 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 5 kW при 300 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2 mP = 70 kN в 1 mw = 12 kN/m от 0 до 2 m

M_A = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 30 kN в 2,5 mw = 6 kN/m от 0 до 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −20 MPa и σᵧ = 90 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 150 MPa?

σ_x = −20 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 150 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 40° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 7 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 140 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 140 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 4,782 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/201,1 = 373 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 373/117000 = 0,003188 = 3188 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,003188·1500 mm = 4,782 mm

Ответ

δ = 4,782 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 318,3 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 203,7 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 318,3 MPa

Ответ

σ_max = 318,3 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 2,694 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(26000·613592) = 0,04701 rad

φ = 0,04701·180/π = 2,694°

Ответ

φ = 2,694°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 18,53 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Полярный момент инерции

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·20/171806 = 18,53 MPa

Ответ

τ_max = 18,53 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −94 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −70·1 = −70 kN·m

w: −12·2²/2 = −24 kN·m

M_A = −70 − 24 = −94 kN·m

Ответ

M_A = −94 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 39,38 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2,5 + 6·4·2

R_B = 123/4 = 30,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 30,75 = 23,25 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 23,25·2,5 − 6·2,5·1,25 = 39,38 kN·m

Ответ

M_x = 39,38 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 51,13 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

стенка: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·307,5 + 2400·150)/5400 = 237,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·15³/12 + 3000·(307,5 − 237,5)² = 1,476 × 10⁷ mm⁴

стенка: 8·300³/12 + 2400·(150 − 237,5)² = 3,638 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,476 × 10⁷ + 3,638 × 10⁷ = 5,113 × 10⁷ mm⁴ = 51,13 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 51,13 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 111,2 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

стенка: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·150 + 2240·70)/6640 = 123 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·20³/12 + 4400·(150 − 123)² = 3,351 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·140³/12 + 2240·(70 − 123)² = 9,954 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,351 × 10⁶ + 9,954 × 10⁶ = 1,331 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 160 − 123 = 36,99 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·36,99/1,331 × 10⁷ = 111,2 MPa

Ответ

σ_верх = 111,2 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 101 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (−20 + 90)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 150 − 35 = 115 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(115² − 55²) = 101 MPa

Ответ

τ_xy = 101 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 112,9 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 70 + 20·0,1736 + 40·0,9848 = 112,9 MPa

Ответ

σ_θ = 112,9 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 13,24 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 7000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 7000·1500³/(3·5,95 × 10¹¹) = 13,24 mm

Ответ

δ_P = 13,24 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 176 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·13,33) = 4,545 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·4,545 × 10⁷/100)^1/3 = 176 mm

Ответ

h_req = 176 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 65,5 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/750² = 65505 N = 65,5 kN

Ответ

P_cr = 65,5 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 72,15 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 72,15 mm

Ответ

d = 72,15 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 138,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials