Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (латунь) под действием осевой нагрузки.

P = 85 kNd = 10 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 60 mm, длиной 400 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 20 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) диаметром 60 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 2,5 m от A и 1,5 m от B, приложен крутящий момент 400 N·m. Найдите реактивный момент T_A в стене A.

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 2,5 mb = 1,5 m

T_A = N·m

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 4 m10 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 20 kN в 4 mw = 12 kN/m от 0 до 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −70 MPa, σᵧ = −20 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −60 MPa, σᵧ = −40 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 40° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 55 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 55 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 32,47 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 85·1000/78,54 = 1082 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1082/100000 = 0,01082 = 10823 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,01082·3000 mm = 32,47 mm

Ответ

δ = 32,47 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 5,968 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 20000·848230/1,005 × 10⁶ = 16875 N

Напряжение

σ₂ = 16875/2827 = 5,968 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 5,968 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 1,347 °

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·613592) = 0,02351 rad

φ = 0,02351·180/π = 1,347°

Ответ

φ = 1,347°

4.Кручение валов

Ответ: T_A = 150 N·m

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1,5/4 = 150 N·m

T_B = 400·2,5/4 = 250 N·m

Ответ

T_A = 150 N·m

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 61,67, M_D = 80, M_E = 88,33 kN·m, M_F = 46,67, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 88,33 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 60,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·4 + 12·6·3

R_B = 296/6 = 49,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 92 − 49,33 = 42,67 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 42,67·4,5 − 20·(4,5 − 4) − 12·4,5·2,25 = 60,5 kN·m

Ответ

M_x = 60,5 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 21,43 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

стенка: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·205 + 2800·100)/4600 = 141,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·10³/12 + 1800·(205 − 141,1)² = 7,368 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·200³/12 + 2800·(100 − 141,1)² = 1,406 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,368 × 10⁶ + 1,406 × 10⁷ = 2,143 × 10⁷ mm⁴ = 21,43 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 21,43 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 42,8 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

стенка: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·165 + 3200·80)/6000 = 119,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·10³/12 + 2800·(165 − 119,7)² = 5,778 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·160³/12 + 3200·(80 − 119,7)² = 1,186 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,778 × 10⁶ + 1,186 × 10⁷ = 1,764 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 170 − 119,7 = 50,33 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·50,33/1,764 × 10⁷ = 42,8 MPa

Ответ

σ_верх = 42,8 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = 64,9 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, −70 − −20) = 129,8°

Угол на элементе

θ_p = 64,9°

Ответ

θ_p = 64,9°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = 13,32 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −−10·0,9848 + 20·0,1736 = 13,32 MPa

Ответ

τ_θ = 13,32 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 24,11 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 24,11 mm

Ответ

δ = 24,11 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 17,05 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2000⁴/(384·11000·5,556) = 1,705 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,05 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 17,05 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 11,66 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/4200² = 11656 N = 11,66 kN

Ответ

P_cr = 11,66 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 38,59 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 38,59 mm

Ответ

d = 38,59 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 129,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials