Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (алюминий) под действием осевой нагрузки.

P = 15 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 115 kNучасток 1: Ø25 mm, 2 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) длиной 3 m передаёт крутящий момент 200 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 1,5°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 200 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) передаёт 50 kW при 500 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 75 MPa, а угол закручивания — 0,5° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

10 kN @ 12 m5 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 150 MPa, σᵧ = 100 MPa и τₓᵧ = −30 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 45° по часовой стрелке от оси x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 5,5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 14 kNa = 5,5 mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 150 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 150 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,6548 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/490,9 = 30,56 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 30,56/70000 = 0,0004365 = 436,5 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,0004365·1500 mm = 0,6548 mm

Ответ

δ = 0,6548 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 572 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 234,3 MPa

σ₂ = 572 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 572 MPa

Ответ

σ_max = 572 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d = 41,33 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·3000/(80000·0,02618) = 286479 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 41,33 mm

Ответ

d = 41,33 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: d = 80,92 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 80,92 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(40,18, 80,92) = 80,92 mm

Ответ

d = 80,92 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 9,375 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 7,5·2,5 − 3·2,5·1,25 = 9,375 kN·m

Ответ

M_x = 9,375 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 15 kN, R₂ = 35 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 20, M_D = 0, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 80,44 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

стенка: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·305 + 5400·150)/7800 = 197,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·10³/12 + 2400·(305 − 197,7)² = 2,766 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·300³/12 + 5400·(150 − 197,7)² = 5,278 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,766 × 10⁷ + 5,278 × 10⁷ = 8,044 × 10⁷ mm⁴ = 80,44 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 80,44 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 126,3 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

стенка: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·267,5 + 2080·130)/4180 = 199,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·15³/12 + 2100·(267,5 − 199,1)² = 9,87 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·260³/12 + 2080·(130 − 199,1)² = 2,164 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,87 × 10⁶ + 2,164 × 10⁷ = 3,151 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 199,1 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·199,1/3,151 × 10⁷ = 126,3 MPa

Ответ

σ_низ = 126,3 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 39,05 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((150 − 100)/2)² + −30²) = 39,05 MPa

Ответ

τ_max = 39,05 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 110 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 120 + 40·0 + 10·−1 = 110 MPa

Ответ

σ_θ = 110 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 6,565 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 14000 N, a = 5500 mm, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·5500²·2500²/(3·1,68 × 10¹³·8000) = 6,565 mm

Ответ

δ_P = 6,565 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 220 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·16,67) = 1,332 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,332 × 10⁸/150)^1/3 = 220 mm

Ответ

h_req = 220 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 58,95 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2500² = 58954 N = 58,95 kN

Ответ

P_cr = 58,95 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 27,76 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Ответ

σ_cr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials