Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 75 kNучасток 1: Ø30 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) диаметром 30 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 0,8 m от A и 1,2 m от B, приложен крутящий момент 500 N·m. Найдите реактивный момент T_A в стене A.

d = 30 mmT₀ = 500 N·ma = 0,8 mb = 1,2 m

T_A = N·m

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mP₁ = 45 kN в 1,5 mP₂ = 40 kN в 3 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mP = 40 kN в 3 mw = 10 kN/m от 0 до 5 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 180 mm и толщиной 20 mm, полную высоту 260 mm и стенку толщиной 8 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 60 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 180 mmH = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = 10 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = 120 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 250 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = 100 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 40 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 40 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 14006 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1401/100000 = 0,01401 = 14006 µε

Ответ

ε = 14006 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 373 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 106,1 MPa

σ₂ = 373 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 373 MPa

Ответ

σ_max = 373 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 9,237 °

Полярный момент инерции

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·79522) = 0,1612 rad

φ = 0,1612·180/π = 9,237°

Ответ

φ = 9,237°

4.Кручение валов

Ответ: T_A = 300 N·m

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·1,2/2 = 300 N·m

T_B = 500·0,8/2 = 200 N·m

Ответ

T_A = 300 N·m

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 75 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1,5 + 40·3

R_B = 187,5/5 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 37,5 = 47,5 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·1,5 = 47,5·1,5 = 71,25 kN·m

под P₂: M = R_B·2 = 37,5·2 = 75 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 75 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 75 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 78 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3 + 10·5·2,5

R_B = 245/5 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 49 = 41 kN

Где V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 11 kN

V(3⁺) = 11 − 40 = −29 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 41·3 − 10·3²/2 = 78 kN·m

Ответ

M_max = 78 kN·m

Он достигается при x = 3 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 44,28 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

стенка: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·215 + 3600·100)/10800 = 176,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·30³/12 + 7200·(215 − 176,7)² = 1,112 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·200³/12 + 3600·(100 − 176,7)² = 3,316 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,112 × 10⁷ + 3,316 × 10⁷ = 4,428 × 10⁷ mm⁴ = 44,28 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 44,28 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 59,45 MPa

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 260 − 2·20 = 220 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·260³ − 172·220³)/12

I_x = 1,11 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 130 − 20 = 110 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·110/1,11 × 10⁸ = 59,45 MPa

Ответ

σ_j = 59,45 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 65 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = 120 MPa, R = √(0² + 10²) = 10 MPa

σ₁ = 130 MPa, σ₂ = 110 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(20, 130, 110)/2 = 65 MPa

Ответ

τ_abs = 65 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,152

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 105 MPa, R = 11,18 MPa

σ₁ = 116,2 MPa, σ₂ = 93,82 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 116,2 MPa

n = 250/116,2 = 2,152

Ответ

n = 2,152

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 35,56 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 8·4000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 35,56 mm

Ответ

δ = 35,56 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 5,753 × 10⁷ mm⁴

I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 241,7 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1050² = 241705 N = 241,7 kN

Ответ

P_cr = 241,7 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 65,52 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 65,52 mm

Ответ

d = 65,52 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 152,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials