Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 25 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (бронза) диаметром 40 mm, длиной 400 mm и E = 110 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,5 mm.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 105 kNучасток 1: Ø35 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø16 mm, 0,5 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) передаёт 75 kW при 750 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 40 MPa, а угол закручивания — 0,25° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 8 kN/m от 0 до 8 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 45 kN в 5 mw = 6 kN/m от 0 до 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 40 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 150 × 24 mm, стенку высотой 340 mm и толщиной 16 mm и нижнюю полку 200 × 16 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 150 × 24 mmстенка: 16 × 340 mmнижняя полка: 200 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −30 MPa и σᵧ = −60 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет −10 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = −10 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 50 mm нагружен осевой сжимающей силой 80 kN вместе с крутящим моментом 750 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

d = 50 mmF = −80 kNT = 750 N·m

τ_max = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2,5 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 16 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 55,52 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1257) = 2,894 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,5/9,005 × 10⁻⁶ = 55523 N = 55,52 kN

Ответ

P = 55,52 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 522,2 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 522,2 MPa

Ответ

σ_max = 522,2 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 2,192 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·251327) = 0,03826 rad

φ = 0,03826·180/π = 2,192°

Ответ

φ = 2,192°

4.Кручение валов

Ответ: d = 72,66 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 72,66 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(49,54, 72,66) = 72,66 mm

Ответ

d = 72,66 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 63 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 32·4,5 − 8·4,5·2,25 = 63 kN·m

Ответ

M_x = 63 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 129,4 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·5 + 6·8·4

R_B = 417/8 = 52,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 52,13 = 40,88 kN

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 40,88·5 − 6·5·2,5 = 129,4 kN·m

Ответ

M_x = 129,4 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 79,34 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·100 − 1257·120)/(24000 − 1257) = 98,89 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·200³/12 + 24000·1,105² = 80,03 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·21,11² = 0,6854 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 79,34 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 79,34 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 272,7 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 3600 mm², y = 368 mm

стенка: A = 5440 mm², y = 186 mm

нижняя полка: A = 3200 mm², y = 8 mm

Центр тяжести

ȳ = (3600·368 + 5440·186 + 3200·8)/12240 = 193 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 150·24³/12 + 3600·175² = 1,104 × 10⁸ mm⁴

стенка: 16·340³/12 + 5440·6,993² = 5,267 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 200·16³/12 + 3200·185² = 1,096 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,104 × 10⁸ + 5,267 × 10⁷ + 1,096 × 10⁸

I_x = 2,727 × 10⁸ mm⁴ = 272,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 272,7 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 31,62 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (−30 + (−60))/2 = −45 MPa

R = σ₁ − C = −10 − (−45) = 35 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 15²) = 31,62 MPa

Ответ

τ_xy = 31,62 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 36,73 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = −80000/(π·50²/4) = −80000/1963 = −40,74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = −20,37 MPa

R = √((−20,37)² + 30,56²) = 36,73 MPa

Ответ

τ_max = 36,73 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 12,9 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 16000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 9,921 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,005952 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12,9 mm

Ответ

δ_B = 12,9 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 272,7 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·4000⁴/(384·11000·11,11) = 2,727 × 10⁸ mm⁴

I_req = 272,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 272,7 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 12,03 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1750² = 12032 N = 12,03 kN

Ответ

P_cr = 12,03 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 197,4 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Ответ

σ_cr = 197,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials