Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (медь) под действием осевой нагрузки.

P = 55 kNd = 20 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 70 kNучасток 1: Ø30 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø12 mm, 2 m, алюминий (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (алюминий; наружный диаметр 75 mm, внутренний диаметр 38 mm, длина 0,5 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 2000 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 50 kW при 1000 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 4 m15 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mw = 6 kN/m от 3 до 7 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 72 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 60 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 200 mmвырез: 60 × 20 mmцентр отверстия: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −30 MPa и σᵧ = 0 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 55 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 55 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 130 MPa, σᵧ = 80 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 60° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 3 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 25 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 4,489 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 55·1000/314,2 = 175,1 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 175,1/117000 = 0,001496 = 1496 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,001496·3000 mm = 4,489 mm

Ответ

δ = 4,489 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 18,53 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99,03·1000/117000 = 0,8464 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 618,9·2000/70000 = 17,68 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 18,53 mm

Ответ

δ = 18,53 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,7595 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Угол закручивания

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(26000·2,902 × 10⁶) = 0,01326 rad

φ = 0,01326·180/π = 0,7595°

Ответ

φ = 0,7595°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 6,171 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·37,5/2,902 × 10⁶ = 6,171 MPa

Ответ

τ_max = 6,171 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 63,33 kN, R₂ = 81,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 55,83, M_C = 96,67, M_D = 122,5, M_E = 133,3 kN·m, M_F = 74,17, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 133,3 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 33,75 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·4·5

R_B = 120/8 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 15 = 9 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 9/6 = 4,5 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 9·4,5 − 6·1,5²/2 = 33,75 kN·m

Ответ

M_max = 33,75 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (48000·120 − 706,9·72)/(48000 − 706,9) = 120,7 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·240³/12 + 48000·−0,7174² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−48,72² = 1,717 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 97,96 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (30000·100 − 1200·60)/(30000 − 1200) = 101,7 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·200³/12 + 30000·−1,667² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·20³/12 + 1200·−41,67² = 2,123 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 97,96 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 97,96 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 68,37 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (−30 + 0)/2 = −15 MPa

R = σ₁ − C = 55 − (−15) = 70 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 15²) = 68,37 MPa

Ответ

τ_xy = 68,37 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −51,65 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −25·0,866 + 60·−0,5 = −51,65 MPa

Ответ

τ_θ = −51,65 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 6,888 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 3000 N, a = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4,592 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002296 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6,888 mm

Ответ

δ_B = 6,888 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 4,58 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 25000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 4,58 mm

Ответ

δ_max = 4,58 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 104,9 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1400² = 104907 N = 104,9 kN

Ответ

P_cr = 104,9 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 77,11 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Ответ

σ_cr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials