Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 40 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 120 MPa находится внутри трубы (алюминий) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 70 GPa и допускаемым напряжением 70 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) длиной 1,5 m передаёт крутящий момент 400 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 2°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 400 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 5 kW при 300 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 40 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2 mP = 60 kN в 2 mw = 12 kN/m от 0 до 2 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите расстояние x₀ от A до сечения, в котором изгибающий момент наибольший.

L = 5 mw = 8 kN/m от 2 до 4 m

x₀ = m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 50 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −10 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 350 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = 110 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 10 kNa = 3 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите величину изгибающего момента M_A в заделке.

L = 6 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 30 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 30 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 14642 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1464/100000 = 0,01464 = 14642 µε

Ответ

ε = 14642 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 361,9 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6,032 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (сталь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0006·6,032 × 10⁸ = 361911 N = 361,9 kN

Ответ

P_max = 361,9 kN

3.Кручение валов

Ответ: d = 38,46 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1500/(80000·0,03491) = 214859 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 38,46 mm

Ответ

d = 38,46 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: d = 27,26 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·40)) = 27,26 mm

Ответ

d = 27,26 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −66 kN·m

Оставляем часть со свободным концом

P: −60·1 = −60 kN·m

w: −12·1²/2 = −6 kN·m

M_x = −60 − 6 = −66 kN·m

Ответ

M_x = −66 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x₀ = 2,8 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·2·3

R_B = 48/5 = 9,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 9,6 = 6,4 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 6,4/8 = 2,8 m

Ответ

x₀ = 2,8 m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 46,66 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

стенка: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·285 + 2800·140)/5400 = 209,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·10³/12 + 2600·(285 − 209,8)² = 1,472 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·280³/12 + 2800·(140 − 209,8)² = 3,194 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,472 × 10⁷ + 3,194 × 10⁷ = 4,666 × 10⁷ mm⁴ = 46,66 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 46,66 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 38,74 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

стенка: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·295 + 2800·140)/11200 = 256,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·30³/12 + 8400·(295 − 256,3)² = 1,324 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·280³/12 + 2800·(140 − 256,3)² = 5,613 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,324 × 10⁷ + 5,613 × 10⁷ = 6,938 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 310 − 256,3 = 53,75 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·53,75/6,938 × 10⁷ = 38,74 MPa

Ответ

σ_верх = 38,74 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 55,9 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((100 − −10)/2)² + 10²) = 55,9 MPa

Ответ

τ_max = 55,9 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,877

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 50 MPa, R = 60,83 MPa

σ₁ = 110,8 MPa, σ₂ = −10,83 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 121,7 MPa

n = 350/121,7 = 2,877

Ответ

n = 2,877

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 18,18 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 10000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·3000²·2000²/(3·1,32 × 10¹²·5000) = 18,18 mm

Ответ

δ_P = 18,18 mm

12.Прогиб балки

Ответ: M_A = 45 kN·m

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22,5 kN

Момент в заделке

Моменты нагрузок и реакции опоры относительно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 180 − 135 = 45 kN·m

Ответ

M_A = 45 kN·m

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 108,1 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108,1 kN

Ответ

P_cr = 108,1 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 60,97 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 60,97 mm

Ответ

d = 60,97 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 164, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials