Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 40 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 400 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 50 kN. Найдите укорочение δ.

P = 50 kNстержень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 50 kNучасток 1: Ø25 mm, 2 m, алюминий (E = 70 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 500 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,7 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 50 kW при 1800 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

35 kN @ 4 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 55 kN в 1 mw = 8 kN/m от 0 до 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 140 mm, наружную высоту H = 325 mm и одинаковую толщину стенок t = 8 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 140 mmH = 325 mmt = 8 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 230 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 400 mm и стенку толщиной 12 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 60 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 230 mmH = 400 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 90 MPa и σᵧ = 60 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 110 MPa?

σ_x = 90 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 110 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 355 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = 40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 15 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 105 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 105 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,02341 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 50000·400/8,545 × 10⁸ = 0,02341 mm

Ответ

δ = 0,02341 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 6,64 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 101,9 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 101,9·2000/70000 = 2,91 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·1500/100000 = 3,73 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,64 mm

Ответ

δ = 6,64 mm

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 35,48 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0,7599)) = 35,48 mm

d_i = 0,7·35,48 = 24,84 mm

Ответ

d_o = 35,48 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 32,38 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 11,53 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·25/575243 = 11,53 MPa

Ответ

τ_max = 11,53 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 23,67 kN, R₂ = 35,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 23,67, M_C = 44,33, M_D = 59, M_E = 67,67 kN·m, M_F = 35,33, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 67,67 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 37,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 8·5·2,5

R_B = 155/5 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 31 = 64 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 64·3,5 − 55·(3,5 − 1) − 8·3,5·1,75 = 37,5 kN·m

Ответ

M_x = 37,5 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 115,4 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 124 mm, h = 309 mm

A = BH − bh = 140·325 − 124·309 = 7184 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 9,562 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(9,562 × 10⁷/7184) = 115,4 mm

Ответ

r = 115,4 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 38,29 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 400 − 2·14 = 372 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·400³ − 218·372³)/12

I_x = 2,915 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 200 − 14 = 186 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·186/2,915 × 10⁸ = 38,29 MPa

Ответ

σ_j = 38,29 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 31,62 MPa

Требуемый радиус

C = (90 + 60)/2 = 75 MPa

R = σ₁ − C = 110 − 75 = 35 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 15²) = 31,62 MPa

Ответ

τ_xy = 31,62 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,918

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 50 MPa, R = 60,83 MPa

σ₁ = 110,8 MPa, σ₂ = −10,83 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 121,7 MPa

n = 355/121,7 = 2,918

Ответ

n = 2,918

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 23,25 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 23,25 mm

Ответ

δ = 23,25 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 4,919 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 15000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 4,919 mm

Ответ

δ_max = 4,919 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 157,9 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1500² = 157914 N = 157,9 kN

Ответ

P_cr = 157,9 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 87,29 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·105000 = 315000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 87,29 mm

Ответ

d = 87,29 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 114,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials