Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (алюминий) под действием осевой нагрузки.

P = 50 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 30 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa и участок (латунь) диаметром 60 mm, длиной 200 mm и E = 100 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 50 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (латунь; наружный диаметр 50 mm, внутренний диаметр 30 mm, длина 0,8 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 750 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 10 kW при 3000 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,7 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 10 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 7,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 10 kN/m от 0 до 10 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите расстояние x₀ от A до сечения, в котором изгибающий момент наибольший.

L = 10 mw = 20 kN/m от 0 до 6 m

x₀ = m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 280 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 100 mm. Толщина основания и полок 18 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 280 mmh = 100 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 30 MPa, σᵧ = 70 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 20° по часовой стрелке от оси x.

σ_x = 30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 2,91 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 50·1000/490,9 = 101,9 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 101,9/70000 = 0,001455 = 1455 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,001455·2000 mm = 2,91 mm

Ответ

δ = 2,91 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 14,74 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 100000·2827/200 = 1,414 × 10⁶ N/mm

Доля участка 2

F₂ = 50000·1,414 × 10⁶/1,696 × 10⁶ = 41667 N

Напряжение

σ₂ = 41667/2827 = 14,74 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 14,74 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 1,65 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Угол закручивания

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·800/(39000·534071) = 0,02881 rad

φ = 0,02881·180/π = 1,65°

Ответ

φ = 1,65°

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 14,17 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·31831/(π·75·0,7599)) = 14,17 mm

d_i = 0,7·14,17 = 9,918 mm

Ответ

d_o = 14,17 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 12,93 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 93,75 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Рассеките в x = 7,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 50·7,5 − 10·7,5·3,75 = 93,75 kN·m

Ответ

M_x = 93,75 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x₀ = 4,2 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 20·6 = 120 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·6·3

R_B = 360/10 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 36 = 84 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 84/20 = 4,2 m

Ответ

x₀ = 4,2 m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 6,444 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 280·18 = 5040 mm², y₁ = 9 mm

две полки: A₂ = 2·18·82 = 2952 mm², y₂ = 18 + 82/2 = 59 mm

Центр тяжести

ȳ = (5040·9 + 2952·59)/7992 = 27,47 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 280·18³/12 + 5040·(9 − 27,47)² = 1,855 × 10⁶ mm⁴

две полки: 2·18·82³/12 + 2952·(59 − 27,47)² = 4,589 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,855 × 10⁶ + 4,589 × 10⁶

I_x = 6,444 × 10⁶ mm⁴ = 6,444 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 6,444 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 156,1 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

стенка: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·172,5 + 1600·80)/8600 = 155,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·25³/12 + 7000·(172,5 − 155,3)² = 2,438 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·160³/12 + 1600·(80 − 155,3)² = 1,248 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,438 × 10⁶ + 1,248 × 10⁷ = 1,492 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 155,3 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·155,3/1,492 × 10⁷ = 156,1 MPa

Ответ

σ_низ = 156,1 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = 18,01 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 70 − −40) = 36,03°

Угол на элементе

θ_p = 18,01°

Ответ

θ_p = 18,01°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −3,888 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 50 + −20·0,766 + 60·−0,6428 = −3,888 MPa

Ответ

σ_θ = −3,888 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 44,44 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 10·4000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 44,44 mm

Ответ

δ = 44,44 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,17 × 10⁸ mm⁴

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 217 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 78,48 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78,48 kN

Ответ

P_cr = 78,48 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 197,4 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Ответ

σ_cr = 197,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials