Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 30 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (латунь) диаметром 30 mm, длиной 400 mm и E = 100 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,4 mm.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (латунь) диаметром 30 mm, длиной 400 mm и E = 100 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 60 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) длиной 3 m передаёт крутящий момент 250 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 2°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 250 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 100 kW при 1500 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 60 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 55 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 4 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mM₀ = 55 kN·m по часовой стрелке, в точке 4 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 15 kN в 4 mw = 12 kN/m от 0 до 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 180 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 100 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 50 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 156 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmвырез: 50 × 50 mmцентр отверстия: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 100 MPa, σᵧ = −40 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 40° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 25 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 43,5 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,4/9,196 × 10⁻⁶ = 43499 N = 43,5 kN

Ответ

P = 43,5 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 53,3 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 100000·706,9/400 = 176715 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 60000·176715/281434 = 37674 N

Напряжение

σ₂ = 37674/706,9 = 53,3 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 53,3 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d = 40,67 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·3000/(80000·0,03491) = 268574 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 40,67 mm

Ответ

d = 40,67 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: d = 37,81 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm

Ответ

d = 37,81 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 27,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/8 = 6,875 kN (вверх)

R_A = −R_B = −6,875 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит R_A и сосредоточенный момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −6,875·4 + 55 = 27,5 kN·m

Ответ

M_x = 27,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 180 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·4 + 12·10·5

R_B = 660/10 = 66 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 66 = 69 kN

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 69·5 − 15·(5 − 4) − 12·5·2,5 = 180 kN·m

Ответ

M_x = 180 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 269,3 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (36000·150 − 706,9·180)/(36000 − 706,9) = 149,4 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·300³/12 + 36000·0,6008² = 270 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·30,6² = 0,7017 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 269,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 269,3 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 111,1 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 2500·156)/(24000 − 2500) = 115,8 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·4,186² = 115,6 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

50·50³/12 + 2500·40,19² = 4,558 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 111,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 111,1 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −24,7 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = 60/92,2 = 0,6508, sin 2θ_s = −70/92,2 = −0,7593

2θ_s = atan2(−70, 60) = −49,4°

Угол на элементе

θ_s = −24,7°

проверка: θ_s − θ_p = −24,7 − 20,3 = −45°

Ответ

θ_s = −24,7°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −43,37 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 5 + 5·0,1736 + −50·0,9848 = −43,37 MPa

Ответ

σ_θ = −43,37 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 22,55 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 25000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 9,019 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01353 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 22,55 mm

Ответ

δ_B = 22,55 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 15 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·4000⁴/(384·200000·11,11) = 1,5 × 10⁷ mm⁴

I_req = 15 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 15 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 7,087 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3500² = 7087 N = 7,087 kN

Ответ

P_cr = 7,087 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 47,98 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Ответ

σ_cr = 47,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials