Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (сталь) под действием осевой нагрузки.

P = 35 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 20 kNучасток 1: Ø35 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø12 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (алюминий; наружный диаметр 40 mm, внутренний диаметр 30 mm, длина 1,5 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 250 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 250 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 75 kW при 500 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,6 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 60 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 75 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 2 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mP = 70 kN в 1,5 mw = 8 kN/m от 0 до 5 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 50 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 50 MPa, σᵧ = 50 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Элемент повёрнут на 50° против часовой стрелки. Найдите нормальное напряжение σ_y′ на гранях повёрнутого элемента, перпендикулярных повёрнутой оси y′.

σ_x = 50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −40 MPa, σᵧ = 80 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 60° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 140 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 140 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,4951 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/200000 = 0,0002476 = 247,6 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,0002476·2000 mm = 0,4951 mm

Ответ

δ = 0,4951 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 1,615 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 20,79 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,79·1000/200000 = 0,1039 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 176,8·1000/117000 = 1,511 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,615 mm

Ответ

δ = 1,615 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 4,81 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Угол закручивания

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(26000·171806) = 0,08395 rad

φ = 0,08395·180/π = 4,81°

Ответ

φ = 4,81°

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 51,89 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·60·0,8704)) = 51,89 mm

d_i = 0,6·51,89 = 31,13 mm

Ответ

d_o = 51,89 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 49,54 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 33,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 46,67, M_C = 93,33 kN·m, M_D = 80, M_E = 66,67, M_F = 33,33, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 93,33 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 94,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 70·1,5 + 8·5·2,5

R_B = 205/5 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 41 = 69 kN

Где V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 57 kN

V(1,5⁺) = 57 − 70 = −13 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 69·1,5 − 8·1,5²/2 = 94,5 kN·m

Ответ

M_max = 94,5 kN·m

Он достигается при x = 1,5 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

стенка: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·232,5 + 2200·110)/8200 = 199,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·25³/12 + 6000·(232,5 − 199,6)² = 6,793 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·220³/12 + 2200·(110 − 199,6)² = 2,655 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,793 × 10⁶ + 2,655 × 10⁷ = 3,334 × 10⁷ mm⁴ = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 157,9 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

стенка: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·267,5 + 4160·130)/8360 = 199,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·15³/12 + 4200·(267,5 − 199,1)² = 1,974 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·260³/12 + 4160·(130 − 199,1)² = 4,329 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,974 × 10⁷ + 4,329 × 10⁷ = 6,303 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 199,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·199,1/6,303 × 10⁷ = 157,9 MPa

Ответ

σ_низ = 157,9 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_y′ = 30,3 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Формула преобразования для грани y′

σ_y′ = 50 − 0·(−0,1736) − 20·0,9848 = 30,3 MPa

Проверка

Сумма нормальных напряжений не меняется при повороте.

σ_x′ = 69,7 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

Ответ

σ_y′ = 30,3 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = 76,96 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −−60·0,866 + −50·−0,5 = 76,96 MPa

Ответ

τ_θ = 76,96 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,008036 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 10·6000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,008036 rad

Ответ

θ_A = 0,008036 rad

Это 0,4604°.

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 66,96 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·5000⁴/(384·70000·13,89) = 6,696 × 10⁷ mm⁴

I_req = 66,96 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 66,96 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 12,21 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·3000 = 6000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12,21 kN

Ответ

P_cr = 12,21 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 138,8 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 138,8 mm

Ответ

d = 138,8 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 172,9, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials