Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (латунь) под действием осевой нагрузки.

P = 60 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 75 kNучасток 1: Ø30 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø12 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 1500 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,5 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) диаметром 40 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 3 m от A действует крутящий момент 250 N·m, а на свободном конце C, ещё на 1 m дальше, — крутящий момент 400 N·m противоположного направления. Найдите величину угла закручивания φ_C конца C в градусах.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 400 N·mAB = 3 mBC = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 9 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 3 kN/m от 0 до 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 12 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 72 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 240 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 480 mm и стенку толщиной 8 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 80 kN·m относительно оси x. Найдите величину наибольшего нормального напряжения при изгибе σ_max в сечении.

B = 240 mmH = 480 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 20 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Найдите эквивалентное напряжение по Мизесу σ_vM.

σ_x = 130 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 25 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена сосредоточенной силой P в середине пролёта. EI постоянна. Найдите величину изгибающего момента M_A в заделке.

L = 4 mP = 40 kN в 2 m

M_A = kN·m

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 5,73 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 60·1000/314,2 = 191 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 191/100000 = 0,00191 = 1910 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,00191·3000 mm = 5,73 mm

Ответ

δ = 5,73 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 2,188 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 106,1 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 106,1·1000/200000 = 0,5305 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 663,1·500/200000 = 1,658 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,188 mm

Ответ

δ = 2,188 mm

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 47,72 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·75·0,9375)) = 47,72 mm

d_i = 0,5·47,72 = 23,86 mm

Ответ

d_o = 47,72 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 46,7 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: φ_C = 4,969 °

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 250 = 150 N·m

Угол закручивания каждого участка

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 150000·3000/(39000·251327) = 0,04591 rad

φ_BC = 400000·1000/(39000·251327) = 0,04081 rad

Угол закручивания конца C

φ_C = 0,04591 + 0,04081 = 0,08672 rad → |φ_C| = 4,969°

Ответ

φ_C = 4,969°

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 13,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Рассеките в x = 9 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 15·9 − 3·9·4,5 = 13,5 kN·m

Ответ

M_x = 13,5 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 20 kN, R₂ = 50 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 80 kN·m, M_D = 10, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 80 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (28800·120 − 1963·72)/(28800 − 1963) = 123,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·240³/12 + 28800·−3,512² = 138,6 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−51,51² = 5,517 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 133,1 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_max = 45,02 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 480 − 2·14 = 452 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·480³ − 232·452³)/12

I_x = 4,265 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 240 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·240/4,265 × 10⁸ = 45,02 MPa

Ответ

σ_max = 45,02 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = 24,18 °

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = 40/60,21 = 0,6644, sin 2θ_s = −(−45)/60,21 = 0,7474

2θ_s = atan2(45, 40) = 48,37°

Угол на элементе

θ_s = 24,18°

проверка: θ_s − θ_p = 24,18 − 69,18 = −45°

Ответ

θ_s = 24,18°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_vM = 149 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 120 MPa, R = 50,99 MPa

σ₁ = 171 MPa, σ₂ = 69,01 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(171² − 171·69,01 + 69,01²) = 149 MPa

Ответ

σ_vM = 149 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 43,92 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 25000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 25000·2000³/(3·1,7 × 10¹²) = 39,22 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 4,706 mm

Сложите

δ = 39,22 + 4,706 = 43,92 mm

Ответ

δ = 43,92 mm

12.Прогиб балки

Ответ: M_A = 30 kN·m

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

Момент в заделке

Моменты нагрузок и реакции опоры относительно A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 80 − 50 = 30 kN·m

Ответ

M_A = 30 kN·m

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 992,2 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

Ответ

P_cr = 992,2 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 6,747 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Ответ

σ_cr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials