Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 20 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (бронза) диаметром 30 mm, длиной 400 mm и E = 110 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,5 mm.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 70 kNучасток 1: Ø35 mm, 1 m, алюминий (E = 70 GPa)участок 2: Ø20 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) диаметром 40 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 2 m от A действует крутящий момент 500 N·m, а на свободном конце C, ещё на 0,5 m дальше, — крутящий момент 400 N·m противоположного направления. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 400 N·mAB = 2 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 1 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

55 kN @ 12 m10 kN @ 4 m10 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 80 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 200 mmвырез: 30 × 20 mmцентр отверстия: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa и τₓᵧ = 60 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = 160 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −60 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 25° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 14 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 23 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 38,16 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706,9) = 5,144 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,5/1,31 × 10⁻⁵ = 38162 N = 38,16 kN

Ответ

P = 38,16 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 1,596 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 72,76 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 72,76·1000/70000 = 1,039 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 222,8·500/200000 = 0,557 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,596 mm

Ответ

δ = 1,596 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 7,662 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(39000·38350) = 0,1337 rad

φ = 0,1337·180/π = 7,662°

Ответ

φ = 7,662°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 31,83 MPa

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 500 = −100 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Участок с наибольшим внутренним моментом имеет наибольшее напряжение (диаметр одинаков).

|T|_max = 400 N·m

τ_max = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

Ответ

τ_max = 31,83 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 29,17 kN, R₂ = 10,83 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 29,17, M_C = 43,33 kN·m, M_D = 32,5, M_E = 21,67, M_F = 10,83, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 43,33 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 45 kN, R₂ = 120 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 100, M_D = 70, M_E = 0, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −110 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 33,11 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

стенка: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·227,5 + 2640·110)/6840 = 182,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·15³/12 + 4200·(227,5 − 182,1)² = 8,717 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 182,1)² = 2,439 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,717 × 10⁶ + 2,439 × 10⁷ = 3,311 × 10⁷ mm⁴ = 33,11 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 33,11 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 99,74 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·100 − 600·80)/(30000 − 600) = 100,4 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·200³/12 + 30000·−0,4082² = 100 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·20³/12 + 600·−20,41² = 0,2699 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 99,74 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 99,74 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 96,06 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = 120 MPa, R = √(40² + 60²) = 72,11 MPa

σ₁ = 192,1 MPa, σ₂ = 47,89 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(144,2, 192,1, 47,89)/2 = 96,06 MPa

Ответ

τ_abs = 96,06 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −17,61 MPa

Формула преобразования

σ_θ = −70 + 10·0,6428 + 60·0,766 = −17,61 MPa

Ответ

σ_θ = −17,61 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 16,4 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 14000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·2000³/(3·2,52 × 10¹²) = 14,81 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 1,587 mm

Сложите

δ = 14,81 + 1,587 = 16,4 mm

Ответ

δ = 16,4 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,913 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 23000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,913 mm

Ответ

δ_max = 1,913 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 222,3 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2500² = 222253 N = 222,3 kN

Ответ

P_cr = 222,3 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 12,34 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Ответ

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials