Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 60 kNучасток 1: Ø25 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø20 mm, 2 m, алюминий (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) передаёт 30 kW при 1450 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 50 MPa, а угол закручивания — 0,25° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 7,5 mw = 6 kN/m от 0 до 7,5 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 120 mm, наружную высоту H = 375 mm и одинаковую толщину стенок t = 6 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 120 mmH = 375 mmt = 6 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 50 MPa при растяжении и 120 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −60 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 40 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 275 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = 0 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 4 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 115 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 115 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 2387 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/100000 = 0,002387 = 2387 µε

Ответ

ε = 2387 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 7,901 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 191 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 122,2·2000/100000 = 2,445 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 191·2000/70000 = 5,457 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,901 mm

Ответ

δ = 7,901 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 1,801 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(80000·79522) = 0,03144 rad

φ = 0,03144·180/π = 1,801°

Ответ

φ = 1,801°

4.Кручение валов

Ответ: d = 58,64 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm

d_τ = ∛(16·197572/(π·50)) = 27,2 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·197572/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 58,64 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(27,2, 58,64) = 58,64 mm

Ответ

d = 58,64 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 33 kN, R₂ = 48 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 54, M_D = 72, M_E = 84 kN·m, M_F = 45, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 84 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 10,55 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·7,5 = 45 kN, приложена в x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·7,5·3,75

R_B = 168,8/5 = 33,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,25/6 = 1,875 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11,25²/(2·6) = 10,55 kN·m

Ответ

M_max = 10,55 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 129,3 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 108 mm, h = 363 mm

A = BH − bh = 120·375 − 108·363 = 5796 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 9,685 × 10⁷ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(9,685 × 10⁷/5796) = 129,3 mm

Ответ

r = 129,3 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 49,03 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (4400·290 + 5600·140)/10000 = 206 mm

верхняя кромка: c = 300 − 206 = 94 mm

Момент инерции сечения

I = 220·20³/12 + 4400·84² + 20·280³/12 + 5600·66² = 9,217 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 50·9,217 × 10⁷/94 = 49,03 kN·m

нижняя кромка: M = 120·9,217 × 10⁷/206 = 53,69 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 49,03 kN·m (верхняя кромка)

Ответ

M_allow = 49,03 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 60,21 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−60 − 30)/2)² + −40²) = 60,21 MPa

Ответ

τ_max = 60,21 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 3,075

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 20 MPa, R = 44,72 MPa

σ₁ = 64,72 MPa, σ₂ = −24,72 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 89,44 MPa

n = 275/89,44 = 3,075

Ответ

n = 3,075

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,01123 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 6·8000³/(24·1,14 × 10¹³) = 0,01123 rad

Ответ

θ_A = 0,01123 rad

Это 0,6433°.

12.Прогиб балки

Ответ: R_B = 15 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

Ответ

R_B = 15 kN

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 280,7 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1500² = 280735 N = 280,7 kN

Ответ

P_cr = 280,7 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 50,83 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50,83 mm

Ответ

d = 50,83 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 118, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials