Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (алюминий) под действием осевой нагрузки.

P = 100 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 25 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 200 MPa находится внутри трубы (бронза) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 110 GPa и допускаемым напряжением 70 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (латунь) передаёт 10 kW при 500 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 80 MPa, а угол закручивания — 0,25° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 55 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 4,5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mM₀ = 55 kN·m по часовой стрелке, в точке 4,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 55 kN в 2 mw = 5 kN/m от 0 до 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 140 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 30 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 200 mmвырез: 60 × 30 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 90 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 10 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 50° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 55 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 55 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 18,19 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1273/70000 = 0,01819 = 18189 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,01819·1000 mm = 18,19 mm

Ответ

δ = 18,19 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 656,2 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·8482 = 1,031 × 10⁹ N

Определяющая деформация

ε = min(0,001, 0,0006364) = 0,0006364 (бронза)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0006364·1,031 × 10⁹ = 656236 N = 656,2 kN

Ответ

P_max = 656,2 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 1,751 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(80000·613592) = 0,03056 rad

φ = 0,03056·180/π = 1,751°

Ответ

φ = 1,751°

4.Кручение валов

Ответ: d = 58,15 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·80)) = 22,99 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 58,15 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(22,99, 58,15) = 58,15 mm

Ответ

d = 58,15 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −41,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/6 = 9,167 kN (вверх)

R_A = −R_B = −9,167 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −9,167·4,5 = −41,25 kN·m

Ответ

M_x = −41,25 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 77,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2 + 5·6·3

R_B = 200/6 = 33,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 33,33 = 51,67 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 51,67·3 − 55·(3 − 2) − 5·3·1,5 = 77,5 kN·m

Ответ

M_x = 77,5 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (40000·100 − 706,9·140)/(40000 − 706,9) = 99,28 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·200³/12 + 40000·0,7196² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·40,72² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 132,4 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (40000·100 − 1800·120)/(40000 − 1800) = 99,06 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·200³/12 + 40000·0,9424² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·30³/12 + 1800·20,94² = 0,9245 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 132,4 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 132,4 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −51,62 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = −20/87,32 = −0,229, sin 2θ_s = −85/87,32 = −0,9734

2θ_s = atan2(−85, −20) = −103,2°

Угол на элементе

θ_s = −51,62°

проверка: θ_s − θ_p = −51,62 − (−6,62) = −45°

Ответ

θ_s = −51,62°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 35,16 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 65 + −55·−0,1736 + −40·0,9848 = 35,16 MPa

Ответ

σ_θ = 35,16 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,002959 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 8·2500³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,002959 rad

Ответ

θ_A = 0,002959 rad

Это 0,1696°.

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 2,876 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,876 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,876 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 2,876 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 404,3 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1250² = 404259 N = 404,3 kN

Ответ

P_cr = 404,3 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 42,27 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 42,27 mm

Ответ

d = 42,27 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 141,9, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials