Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (бронза) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 110 GPa. Длина обоих — 600 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 200 kN. Найдите укорочение δ.

P = 200 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 105 kNучасток 1: Ø25 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø20 mm, 2 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

При испытании на кручение сплошной образец диаметром 20 mm закручивается моментом 30 N·m. Концы расчётной длины 400 mm поворачиваются друг относительно друга на 1,68° (материал ещё работает упруго). Найдите модуль сдвига G материала.

T = 30 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1,68°

G = GPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 100 kW при 1800 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 80 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 100 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 4 m6 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 10 kN в 1,5 mw = 8 kN/m от 0 до 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 200 mm, наружную высоту H = 225 mm и одинаковую толщину стенок t = 20 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 200 mmH = 225 mmt = 20 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 150 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 200 mm и стенку толщиной 12 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 30 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 150 mmH = 200 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 30 kN·m

σ_j = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 70 MPa и σᵧ = 40 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 130 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 130 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 50° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 26 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 6 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 125 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 125 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,3131 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·2199 = 3,833 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 200000·600/3,833 × 10⁸ = 0,3131 mm

Ответ

δ = 0,3131 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 334,2 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 334,2 MPa

Ответ

σ_max = 334,2 MPa

3.Кручение валов

Ответ: G = 26,05 GPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции и угол

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,68·π/180 = 0,02932 rad

Модуль сдвига

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·400/(15708·0,02932) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Ответ

G = 26,05 GPa

Для сравнения: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюминий ≈ 26 GPa.

4.Кручение валов

Ответ: d = 32,32 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·530516/(π·80)) = 32,32 mm

Ответ

d = 32,32 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 36 kN, R₂ = 48 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 33, M_C = 60, M_D = 81, M_E = 96 kN·m, M_F = 48, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 96 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 38,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1,5 + 8·6·3

R_B = 159/6 = 26,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 26,5 = 31,5 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 31,5·1,5 − 8·1,5·0,75 = 38,25 kN·m

Ответ

M_x = 38,25 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 82,74 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 160 mm, h = 185 mm

A = BH − bh = 200·225 − 160·185 = 15400 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,054 × 10⁸ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(1,054 × 10⁸/15400) = 82,74 mm

Ответ

r = 82,74 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 41,53 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 200 − 2·22 = 156 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·200³ − 138·156³)/12

I_x = 5,634 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 100 − 22 = 78 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·78/5,634 × 10⁷ = 41,53 MPa

Ответ

σ_j = 41,53 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 73,48 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (70 + 40)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 130 − 55 = 75 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 15²) = 73,48 MPa

Ответ

τ_xy = 73,48 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 51,19 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 15 + −95·−0,1736 + 20·0,9848 = 51,19 MPa

Ответ

σ_θ = 51,19 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 16,45 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 26000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 26000·2500³/(3·1,12 × 10¹³) = 12,09 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 4,36 mm

Сложите

δ = 12,09 + 4,36 = 16,45 mm

Ответ

δ = 16,45 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 3,364 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 6000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·5000³/(48·2,4 × 10¹³) = 0,651 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 2,713 mm

Сложите

δ_max = 0,651 + 2,713 = 3,364 mm

Ответ

δ_max = 3,364 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 441 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

Ответ

P_cr = 441 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 52,48 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 52,48 mm

Ответ

d = 52,48 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 106,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials