Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (медь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 40 mm, длиной 500 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 50 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (алюминий; наружный диаметр 80 mm, внутренний диаметр 60 mm, длина 1 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 1000 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 60 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) диаметром 30 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 1 m от A действует крутящий момент 500 N·m, а на свободном конце C, ещё на 0,5 m дальше, — крутящий момент 200 N·m противоположного направления. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 30 mmT_B = 500 N·mT_C = 200 N·mAB = 1 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

25 kN @ 12 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 240 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 70 mm. Толщина основания и полок 12 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 240 mmh = 70 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 35 MPa при растяжении и 120 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 90 MPa, σᵧ = 80 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 300 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 6 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 125 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 45 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 45 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 4251 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 100·1000/201,1 = 497,4 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 497,4/117000 = 0,004251 = 4251 µε

Ответ

ε = 4251 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 23,48 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 50000·301593/511032 = 29508 N

Напряжение

σ₂ = 29508/1257 = 23,48 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 23,48 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,8017 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Угол закручивания

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1000/(26000·2,749 × 10⁶) = 0,01399 rad

φ = 0,01399·180/π = 0,8017°

Ответ

φ = 0,8017°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 56,59 MPa

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 500 = −300 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Участок с наибольшим внутренним моментом имеет наибольшее напряжение (диаметр одинаков).

|T|_max = 300 N·m

τ_max = 16·300000/(π·30³) = 56,59 MPa

Ответ

τ_max = 56,59 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 48,33 kN, R₂ = 66,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 86,67, M_C = 153,3, M_D = 200, M_E = 226,7 kN·m, M_F = 123,3, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 226,7 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 23 kN, R₂ = 37 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 46, M_C = 22, M_D = −2, M_E = −26, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −50 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 1,574 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 240·12 = 2880 mm², y₁ = 6 mm

две полки: A₂ = 2·12·58 = 1392 mm², y₂ = 12 + 58/2 = 41 mm

Центр тяжести

ȳ = (2880·6 + 1392·41)/4272 = 17,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 240·12³/12 + 2880·(6 − 17,4)² = 409140 mm⁴

две полки: 2·12·58³/12 + 1392·(41 − 17,4)² = 1,165 × 10⁶ mm⁴

I_x = 409140 + 1,165 × 10⁶

I_x = 1,574 × 10⁶ mm⁴ = 1,574 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 1,574 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 4,253 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (3000·187,5 + 2160·90)/5160 = 146,7 mm

верхняя кромка: c = 195 − 146,7 = 48,31 mm

Момент инерции сечения

I = 200·15³/12 + 3000·40,81² + 12·180³/12 + 2160·56,69² = 1,783 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 120·1,783 × 10⁷/48,31 = 44,28 kN·m

нижняя кромка: M = 35·1,783 × 10⁷/146,7 = 4,253 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 4,253 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 4,253 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = −42,14 °

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 90 − 80) = −84,29°

Угол на элементе

θ_p = −42,14°

Ответ

θ_p = −42,14°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 15 MPa, R = 75 MPa

σ₁ = 90 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 150 MPa

n = 300/150 = 2

Ответ

n = 2

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 33,33 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 6000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 19,05 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01429 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 33,33 mm

Ответ

δ_B = 33,33 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 246,1 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,553 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,553 × 10⁸/125)^1/3 = 246,1 mm

Ответ

h_req = 246,1 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 5,426 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Ответ

P_cr = 5,426 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 70,63 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 70,63 mm

Ответ

d = 70,63 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 141,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials