Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 100 GPa. Длина обоих — 300 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 150 kN. Найдите укорочение δ.

P = 150 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 100 kNучасток 1: Ø40 mm, 1,5 m, алюминий (E = 70 GPa)участок 2: Ø20 mm, 1,5 m, алюминий (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (латунь; наружный диаметр 50 mm, внутренний диаметр 25 mm, длина 2,5 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 1500 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 1500 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 30 kW при 1450 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 30 kWN = 1450 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

25 kN @ 4 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 7 mw = 6 kN/m от 0 до 7 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 40 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 250 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 360 mm и стенку толщиной 8 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 60 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 250 mmH = 360 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 40 mm нагружен осевой растягивающей силой 60 kN вместе с крутящим моментом 750 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 40 mmF = 60 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3,5 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 13 kNa = 3,5 mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1,5 m от опоры B. Найдите прогиб δ_mid в середине пролёта.

P = 13 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,04182 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·9346 = 1,076 × 10⁹ N

Укорочение

δ = 150000·300/1,076 × 10⁹ = 0,04182 mm

Ответ

δ = 0,04182 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 8,526 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 79,58 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 79,58·1500/70000 = 1,705 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 318,3·1500/70000 = 6,821 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,526 mm

Ответ

δ = 8,526 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 9,577 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Угол закручивания

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·2500/(39000·575243) = 0,1672 rad

φ = 0,1672·180/π = 9,577°

Ответ

φ = 9,577°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 4,04 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 197572·37,5/1,834 × 10⁶ = 4,04 MPa

Ответ

τ_max = 4,04 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 11,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 66,67, M_C = 93,33 kN·m, M_D = 70, M_E = 46,67, M_F = 23,33, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 93,33 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 25,52 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·7·3,5

R_B = 147/6 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 24,5 = 17,5 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 17,5/6 = 2,917 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 17,5²/(2·6) = 25,52 kN·m

Ответ

M_max = 25,52 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (40000·100 − 1257·120)/(40000 − 1257) = 99,35 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·200³/12 + 40000·0,6487² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·20,65² = 0,6615 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 132,7 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 28,24 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 360 − 2·22 = 316 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·360³ − 242·316³)/12

I_x = 3,357 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 180 − 22 = 158 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·158/3,357 × 10⁸ = 28,24 MPa

Ответ

σ_j = 28,24 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 53,15 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−10 − −80)/2)² + −40²) = 53,15 MPa

Ответ

τ_max = 53,15 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 88,15 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = 60000/(π·40²/4) = 60000/1257 = 47,75 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 23,87 MPa

R = √(23,87² + 59,68²) = 64,28 MPa

σ₁ = C + R = 88,15 MPa

σ₂ = C − R = −40,41 MPa

Ответ

σ₁ = 88,15 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 11,06 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 13000 N, a = 3500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 13000·3500³/(3·1,68 × 10¹³) = 11,06 mm

Ответ

δ_P = 11,06 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_mid = 4,56 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 13000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогиб в середине пролёта

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 13000·1500·(3·5000² − 4·1500²)/(48·5,88 × 10¹²) = 4,56 mm

Ответ

δ_mid = 4,56 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 248,1 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·4000 = 4000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Ответ

P_cr = 248,1 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 49,35 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Ответ

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials