Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (алюминий) под действием осевой нагрузки.

P = 55 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 55 kNучасток 1: Ø40 mm, 0,5 m, алюминий (E = 70 GPa)участок 2: Ø20 mm, 1,5 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 75 kW при 750 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6,5 mP₁ = 70 kN в 3,5 mP₂ = 50 kN в 6,5 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 30 kN в 4 mw = 6 kN/m от 0 до 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 150 mm и толщиной 24 mm, полную высоту 460 mm и стенку толщиной 14 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 150 mmH = 460 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 50 mm и высотой 30 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 60 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 200 mmвырез: 50 × 30 mmцентр отверстия: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 40 MPa, σᵧ = 50 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 60 mm нагружен осевой сжимающей силой 40 kN вместе с крутящим моментом 1000 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

d = 60 mmF = −40 kNT = 1000 N·m

τ_max = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1 m от опоры B. Найдите прогиб δ_mid в середине пролёта.

P = 30 kNb = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,8003 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490,9 = 112 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 112/70000 = 0,001601 = 1601 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,001601·500 mm = 0,8003 mm

Ответ

δ = 0,8003 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 175,1 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 175,1 MPa

Ответ

σ_max = 175,1 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 4,04 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(26000·613592) = 0,07052 rad

φ = 0,07052·180/π = 4,04°

Ответ

φ = 4,04°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 58,39 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/408885 = 58,39 MPa

Ответ

τ_max = 58,39 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 21 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 70·3,5 + 50·6,5

R_B = 570/5 = 114 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 114 = 6 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·3,5 = 6·3,5 = 21 kN·m

Ответ

M_x = 21 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 18,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4 + 6·6·3

R_B = 228/6 = 38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 38 = 28 kN

Рассеките в x = 5,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 28·5,5 − 30·(5,5 − 4) − 6·5,5·2,75 = 18,25 kN·m

Ответ

M_x = 18,25 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 424,1 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 460 − 2·24 = 412 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·460³ − 136·412³)/12

I_x = 4,241 × 10⁸ mm⁴ = 424,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 424,1 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 77,33 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·100 − 1500·60)/(24000 − 1500) = 102,7 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,667² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

50·30³/12 + 1500·−42,67² = 2,843 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 77,33 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 77,33 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = 4,731 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = 30/30,41 = 0,9864, sin 2θ_s = −(−5)/30,41 = 0,1644

2θ_s = atan2(5, 30) = 9,462°

Угол на элементе

θ_s = 4,731°

проверка: θ_s − θ_p = 4,731 − 49,73 = −45°

Ответ

θ_s = 4,731°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 24,62 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = −40000/(π·60²/4) = −40000/2827 = −14,15 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23,58 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = −7,074 MPa

R = √((−7,074)² + 23,58²) = 24,62 MPa

Ответ

τ_max = 24,62 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 67,93 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 4·5000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 67,93 mm

Ответ

δ = 67,93 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_mid = 5,702 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 30000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогиб в середине пролёта

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 30000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·1,14 × 10¹³) = 5,702 mm

Ответ

δ_mid = 5,702 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 3,454 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·6000 = 6000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3,454 kN

Ответ

P_cr = 3,454 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 79,31 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/7,5 = 93,33

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

Ответ

σ_cr = 79,31 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Кручение валов

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Центр тяжести и момент инерции

Круг Мора и преобразование напряжений

Метод

Прогиб балки

Устойчивость колонн

2Тренировочные задачи

3Растворы

Напряжение

Деформация (закон Гука)

Удлинение

Ответ

Одинаковая сила на обоих участках

Наибольшее напряжение

Ответ

Полярный момент инерции

Угол закручивания

Ответ

Крутящий момент

Полярный момент инерции

Наибольшее касательное напряжение

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Рассеките в x = 5,5 m и оставьте левую часть

Ответ

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Ответ

Центр тяжести

Целая пластина относительно ȳ

Отверстие относительно ȳ

Вычтите

Ответ

Угол на круге

Угол на элементе

Ответ

Напряжения на поверхности

Круг Мора

Ответ

Согласованные единицы

Прогиб

Ответ

Согласованные единицы

Прогиб в середине пролёта

Ответ

Наименьший момент инерции

Расчётная длина

Критическая сила

Ответ

Наименьший момент инерции

Радиус инерции и гибкость

Критическое напряжение

Ответ

Сечение под P₁, оставляем левую часть