Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (алюминий) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 45 kNучасток 1: Ø30 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø16 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 500 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,8 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 80 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) диаметром 25 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 2,5 m от A действует крутящий момент 250 N·m, а на свободном конце C, ещё на 1,2 m дальше, — крутящий момент 200 N·m того же направления. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 25 mmT_B = 250 N·mT_C = 200 N·mAB = 2,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 6 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 10 kN в 2 mw = 3 kN/m от 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −70 MPa и τₓᵧ = 10 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = −30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 60 mm нагружен изгибающим моментом 500 N·m вместе с крутящим моментом 500 N·m. На верхней поверхности, где нормальное напряжение от изгиба растягивающее и наибольшее, найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 60 mmM = 500 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 2 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 12 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 2728 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 15·1000/78,54 = 191 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 191/70000 = 0,002728 = 2728 µε

Ответ

ε = 2728 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 1,514 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/100000 = 0,9549 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 223,8·500/200000 = 0,5595 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,514 mm

Ответ

δ = 1,514 mm

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 37,78 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·80·0,5904)) = 37,78 mm

d_i = 0,8·37,78 = 30,22 mm

Ответ

d_o = 37,78 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 31,69 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 146,7 MPa

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 250 = 450 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Участок с наибольшим внутренним моментом имеет наибольшее напряжение (диаметр одинаков).

|T|_max = 450 N·m

τ_max = 16·450000/(π·25³) = 146,7 MPa

Ответ

τ_max = 146,7 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 28,83 kN, R₂ = 18,17 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 49,67, M_C = 83,33, M_D = 101 kN·m, M_E = 72,67, M_F = 36,33, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 101 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 13,13 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 3·4·2

R_B = 44/4 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 11 = 11 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 11·1,5 − 3·1,5·0,75 = 13,13 kN·m

Ответ

M_x = 13,13 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 31,15 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

стенка: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·245 + 2880·120)/4680 = 168,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·10³/12 + 1800·(245 − 168,1)² = 1,067 × 10⁷ mm⁴

стенка: 12·240³/12 + 2880·(120 − 168,1)² = 2,048 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,067 × 10⁷ + 2,048 × 10⁷ = 3,115 × 10⁷ mm⁴ = 31,15 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 31,15 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 37,12 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

стенка: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·125 + 1920·60)/3320 = 87,41 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·10³/12 + 1400·(125 − 87,41)² = 1,99 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·120³/12 + 1920·(60 − 87,41)² = 3,746 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,99 × 10⁶ + 3,746 × 10⁶ = 5,736 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 130 − 87,41 = 42,59 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·42,59/5,736 × 10⁶ = 37,12 MPa

Ответ

σ_верх = 37,12 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 36,18 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = −50 MPa, R = √(20² + 10²) = 22,36 MPa

σ₁ = −27,64 MPa, σ₂ = −72,36 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44,72, 27,64, 72,36)/2 = 36,18 MPa

Ответ

τ_abs = 36,18 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 28,46 MPa

Напряжения на поверхности

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·60³) = 23,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 11,79 MPa

R = √(11,79² + 11,79²) = 16,67 MPa

σ₁ = C + R = 28,46 MPa

σ₂ = C − R = −4,883 MPa

Ответ

σ₁ = 28,46 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,283 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 2,283 mm

Ответ

δ_max = 2,283 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 22,45 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 12000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 22,45 mm

Ответ

δ_max = 22,45 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 6,94 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·4000 = 8000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/8000² = 6940 N = 6,94 kN

Ответ

P_cr = 6,94 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 71,06 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7,5 = 166,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Ответ

σ_cr = 71,06 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials