Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (алюминий) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 30 kNучасток 1: Ø35 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø16 mm, 0,5 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 400 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 100 kW при 750 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

50 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 10 kN в 2 mw = 5 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 45 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 35° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите величину изгибающего момента M_A в заделке.

L = 8 mw = 8 kN/m

M_A = kN·m

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 135 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 135 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 1718 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/70000 = 0,001718 = 1718 µε

Ответ

ε = 1718 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 149,2 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 31,18 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 149,2 MPa

Ответ

σ_max = 149,2 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 18,24 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·15708) = 0,3183 rad

φ = 0,3183·180/π = 18,24°

Ответ

φ = 18,24°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 16,46 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,273 × 10⁶·37,5/2,902 × 10⁶ = 16,46 MPa

Ответ

τ_max = 16,46 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 51,33 kN, R₂ = 34,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 48,33, M_C = 90,67 kN·m, M_D = 77, M_E = 57,33, M_F = 31,67, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 90,67 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 33,61 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2 + 5·6·3

R_B = 110/6 = 18,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 18,33 = 21,67 kN

Где V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (21,67 − 10)/5 = 2,333 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 33,61 kN·m

Ответ

M_max = 33,61 kN·m

Он достигается при x = 2,333 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 31,46 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (18000·75 − 1963·45)/(18000 − 1963) = 78,67 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·150³/12 + 18000·−3,673² = 33,99 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−33,67² = 2,533 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 31,46 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 31,46 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 16,54 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

стенка: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·270 + 4160·130)/6960 = 186,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·20³/12 + 2800·(270 − 186,3)² = 1,97 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·260³/12 + 4160·(130 − 186,3)² = 3,663 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,97 × 10⁷ + 3,663 × 10⁷ = 5,633 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 186,3 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·186,3/5,633 × 10⁷ = 16,54 MPa

Ответ

σ_низ = 16,54 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 77,62 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−80 − 70)/2)² + 20²) = 77,62 MPa

Ответ

τ_max = 77,62 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 128,8 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 75 + 75·0,342 + 30·0,9397 = 128,8 MPa

Ответ

σ_θ = 128,8 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 37,2 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 8·5000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 37,2 mm

Ответ

δ = 37,2 mm

12.Прогиб балки

Ответ: M_A = 64 kN·m

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·8/8 = 24 kN

Момент в заделке

Моменты нагрузок и реакции опоры относительно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 256 − 192 = 64 kN·m

Ответ

M_A = 64 kN·m

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 23,03 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/5000² = 23029 N = 23,03 kN

Ответ

P_cr = 23,03 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 70,27 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 70,27 mm

Ответ

d = 70,27 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 99,62, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials