Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (медь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 30 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 40 mm, длиной 500 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 60 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 200 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 75 kW при 1500 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 4 kN/m от 0 до 5 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 20 kN в 3,5 mw = 12 kN/m от 0 до 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 140 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 140 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 360 mm и стенку толщиной 12 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 30 kN·m относительно оси x. Найдите величину наибольшего нормального напряжения при изгибе σ_max в сечении.

B = 140 mmH = 360 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mmM = 30 kN·m

σ_max = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −10 MPa и σᵧ = 70 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 100 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −50 MPa, σᵧ = −40 MPa и τₓᵧ = −30 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 60° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюминий)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 29 kNw = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 115 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 115 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 2338 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/117000 = 0,002338 = 2338 µε

Ответ

ε = 2338 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 24,64 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 60000·301593/584336 = 30968 N

Напряжение

σ₂ = 30968/1257 = 24,64 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 24,64 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,5845 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·251327) = 0,0102 rad

φ = 0,0102·180/π = 0,5845°

Ответ

φ = 0,5845°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 16,47 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Полярный момент инерции

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·30/869767 = 16,47 MPa

Ответ

τ_max = 16,47 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −8 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 10 − 4·4,5 = −8 kN

Ответ

V_x = −8 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 41,67 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3,5 + 12·6·3

R_B = 286/6 = 47,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 92 − 47,67 = 44,33 kN

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 44,33·5 − 20·(5 − 3,5) − 12·5·2,5 = 41,67 kN·m

Ответ

M_x = 41,67 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 98,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·100 − 706,9·140)/(30000 − 706,9) = 99,03 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·200³/12 + 30000·0,9652² = 100 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·40,97² = 1,226 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 98,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 98,8 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_max = 35,07 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 360 − 2·14 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·360³ − 128·332³)/12

I_x = 1,54 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 180 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·180/1,54 × 10⁸ = 35,07 MPa

Ответ

σ_max = 35,07 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 57,45 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (−10 + 70)/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 100 − 30 = 70 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 40²) = 57,45 MPa

Ответ

τ_xy = 57,45 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −68,48 MPa

Формула преобразования

σ_θ = −45 + −5·−0,5 + −30·0,866 = −68,48 MPa

Ответ

σ_θ = −68,48 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,004141 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·1,61 × 10¹²) = 0,004141 rad

Ответ

θ_A = 0,004141 rad

Это 0,2372°.

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 26,41 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 29000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·2500³/(48·3,96 × 10¹¹) = 23,84 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 2,569 mm

Сложите

δ_max = 23,84 + 2,569 = 26,41 mm

Ответ

δ_max = 26,41 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 15,11 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/4200² = 15107 N = 15,11 kN

Ответ

P_cr = 15,11 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 58,69 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58,69 mm

Ответ

d = 58,69 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 136,3, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials