Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 25 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (бронза) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 110 GPa. Длина обоих — 300 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 80 kN. Найдите укорочение δ.

P = 80 kNстержень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 45 kNучасток 1: Ø30 mm, 2 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø12 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (алюминий) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 25 mm и длину 0,8 m; участок BC — диаметр 20 mm и длину 3 m. На свободном конце C действует крутящий момент 400 N·m. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

T = 400 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) передаёт 15 kW при 1450 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 50 MPa, а угол закручивания — 1° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 1 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

40 kN @ 0 m15 kN @ 6 m40 kN @ 3 m4 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 160 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 170 mm. Толщина основания и полок 20 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 160 mmh = 170 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 160 × 16 mm, стенку высотой 290 mm и толщиной 8 mm и нижнюю полку 220 × 10 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 160 × 16 mmстенка: 8 × 290 mmнижняя полка: 220 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 50 MPa, σᵧ = 0 MPa и τₓᵧ = 50 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 460 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = −40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 14 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите величину изгибающего момента M_A в заделке.

L = 8 mw = 6 kN/m

M_A = kN·m

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 15 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 15 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,07057 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·2199 = 3,401 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 80000·300/3,401 × 10⁸ = 0,07057 mm

Ответ

δ = 0,07057 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 5,067 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·2000/117000 = 1,088 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·2000/200000 = 3,979 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,067 mm

Ответ

δ = 5,067 mm

3.Кручение валов

Ответ: τ_max = 254,6 MPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Напряжение на каждом участке

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

Ответ

τ_max = 254,6 MPa

4.Кручение валов

Ответ: d = 38,59 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 98,79 N·m = 98786 N·mm

d_τ = ∛(16·98786/(π·50)) = 21,59 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·98786/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 38,59 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(21,59, 38,59) = 38,59 mm

Ответ

d = 38,59 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 32,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 27,5, M_C = 40, M_D = 52,5, M_E = 65 kN·m, M_F = 32,5, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 65 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 62,67 kN, R₂ = 44,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −40 kN·m, M_C = −19,33, M_D = −2,667, M_E = −30, M_F = −15, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 26,43 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 160·20 = 3200 mm², y₁ = 10 mm

две полки: A₂ = 2·20·150 = 6000 mm², y₂ = 20 + 150/2 = 95 mm

Центр тяжести

ȳ = (3200·10 + 6000·95)/9200 = 65,43 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 160·20³/12 + 3200·(10 − 65,43)² = 9,94 × 10⁶ mm⁴

две полки: 2·20·150³/12 + 6000·(95 − 65,43)² = 1,649 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,94 × 10⁶ + 1,649 × 10⁷

I_x = 2,643 × 10⁷ mm⁴ = 26,43 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 26,43 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 125,2 × 10⁶ mm⁴

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2560 mm², y = 308 mm

стенка: A = 2320 mm², y = 155 mm

нижняя полка: A = 2200 mm², y = 5 mm

Центр тяжести

ȳ = (2560·308 + 2320·155 + 2200·5)/7080 = 163,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 160·16³/12 + 2560·144,3² = 5,335 × 10⁷ mm⁴

стенка: 8·290³/12 + 2320·8,712² = 1,644 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 220·10³/12 + 2200·158,7² = 5,544 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,335 × 10⁷ + 1,644 × 10⁷ + 5,544 × 10⁷

I_x = 1,252 × 10⁸ mm⁴ = 125,2 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 125,2 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 55,9 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((50 − 0)/2)² + 50²) = 55,9 MPa

Ответ

τ_max = 55,9 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,571

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 40 MPa, R = 89,44 MPa

σ₁ = 129,4 MPa, σ₂ = −49,44 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 178,9 MPa

n = 460/178,9 = 2,571

Ответ

n = 2,571

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 1,944 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 14000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 14000·1000³/(3·2,4 × 10¹²) = 1,944 mm

Ответ

δ_P = 1,944 mm

12.Прогиб балки

Ответ: M_A = 48 kN·m

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·8/8 = 18 kN

Момент в заделке

Моменты нагрузок и реакции опоры относительно A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 192 − 144 = 48 kN·m

Ответ

M_A = 48 kN·m

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 27,56 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·3000 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Ответ

P_cr = 27,56 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 45,86 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 45,86 mm

Ответ

d = 45,86 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 174,4, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials