Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 20 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (латунь) диаметром 30 mm, длиной 400 mm и E = 100 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,4 mm.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 65 kNучасток 1: Ø25 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø12 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 750 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,5 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 60 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 100 kW при 3000 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 4 kN/m от 0 до 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 25 kN в 1,5 mw = 5 kN/m от 0 до 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 45 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 190 × 14 mm, стенку высотой 290 mm и толщиной 8 mm и нижнюю полку 150 × 20 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 190 × 14 mmстенка: 8 × 290 mmнижняя полка: 150 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = −60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 50 mm нагружен изгибающим моментом 750 N·m вместе с крутящим моментом 2000 N·m. На верхней поверхности, где нормальное напряжение от изгиба растягивающее и наибольшее, найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

d = 50 mmM = 750 N·mT = 2000 N·m

τ_max = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 17 kNa = 5 mL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 150 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 150 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 90 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 90 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 38,34 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,4/1,043 × 10⁻⁵ = 38338 N = 38,34 kN

Ответ

P = 38,34 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 574,7 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 574,7 MPa

Ответ

σ_max = 574,7 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 40,8 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·60·0,9375)) = 40,8 mm

d_i = 0,5·40,8 = 20,4 mm

Ответ

d_o = 40,8 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 39,93 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 17,07 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·25/466269 = 17,07 MPa

Ответ

τ_max = 17,07 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 42 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 20·3 − 4·3·1,5 = 42 kN·m

Ответ

M_x = 42 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 32,81 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1,5 + 5·4·2

R_B = 77,5/4 = 19,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 19,38 = 25,63 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 25,63·1,5 − 5·1,5·0,75 = 32,81 kN·m

Ответ

M_x = 32,81 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 41,49 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (22500·75 − 706,9·45)/(22500 − 706,9) = 75,97 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·150³/12 + 22500·−0,973² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−30,97² = 0,7179 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 41,49 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 41,49 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 149,5 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2660 mm², y = 317 mm

стенка: A = 2320 mm², y = 165 mm

нижняя полка: A = 3000 mm², y = 10 mm

Центр тяжести

ȳ = (2660·317 + 2320·165 + 3000·10)/7980 = 157,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 190·14³/12 + 2660·159,6² = 6,78 × 10⁷ mm⁴

стенка: 8·290³/12 + 2320·7,604² = 1,639 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 150·20³/12 + 3000·147,4² = 6,528 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,78 × 10⁷ + 1,639 × 10⁷ + 6,528 × 10⁷

I_x = 1,495 × 10⁸ mm⁴ = 149,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 149,5 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 92,2 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = 30 MPa, R = √((−90)² + (−20)²) = 92,2 MPa

σ₁ = 122,2 MPa, σ₂ = −62,2 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(184,4, 122,2, 62,2)/2 = 92,2 MPa

Ответ

τ_abs = 92,2 MPa

Здесь σ₁ и σ₂ имеют разные знаки, поэтому максимум в плоскости R является и абсолютным максимумом.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 87,03 MPa

Напряжения на поверхности

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81,49 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 30,56 MPa

R = √(30,56² + 81,49²) = 87,03 MPa

Ответ

τ_max = 87,03 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 13,42 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 17000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 17000·5000²·1000²/(3·1,76 × 10¹²·6000) = 13,42 mm

Ответ

δ_P = 13,42 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 157,2 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·15) = 4,854 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·4,854 × 10⁷/150)^1/3 = 157,2 mm

Ответ

h_req = 157,2 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 402,8 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1050² = 402841 N = 402,8 kN

Ответ

P_cr = 402,8 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 76,98 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 76,98 mm

Ответ

d = 76,98 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 109,1, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials