Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 20 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 800 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 250 kN. Найдите укорочение δ.

P = 250 kNстержень: Ø20 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 30 mm, длиной 200 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 75 kW при 500 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 100 mmd_i = 70 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 8 kN/m от 0 до 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 0 m40 kN @ 12 m10 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 180 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 190 mm. Толщина основания и полок 18 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 180 mmh = 190 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −20 MPa, σᵧ = −70 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −20 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 15° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 28 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 60 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,3003 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5027 = 6,66 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 250000·800/6,66 × 10⁸ = 0,3003 mm

Ответ

δ = 0,3003 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 94,7 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 120000·706,9/200 = 424115 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·424115/633555 = 66942 N

Напряжение

σ₂ = 66942/706,9 = 94,7 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 94,7 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 2,873 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(39000·613592) = 0,05015 rad

φ = 0,05015·180/π = 2,873°

Ответ

φ = 2,873°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 9,6 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Полярный момент инерции

J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7,46 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,432 × 10⁶·50/7,46 × 10⁶ = 9,6 MPa

Ответ

τ_max = 9,6 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 15 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 16·2,5 − 8·2,5·1,25 = 15 kN·m

Ответ

M_x = 15 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 23,33 kN, R₂ = 91,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −33,33, M_D = −76,67, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −160 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 34,55 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 180·18 = 3240 mm², y₁ = 9 mm

две полки: A₂ = 2·18·172 = 6192 mm², y₂ = 18 + 172/2 = 104 mm

Центр тяжести

ȳ = (3240·9 + 6192·104)/9432 = 71,37 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 180·18³/12 + 3240·(9 − 71,37)² = 1,269 × 10⁷ mm⁴

две полки: 2·18·172³/12 + 6192·(104 − 71,37)² = 2,186 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,269 × 10⁷ + 2,186 × 10⁷

I_x = 3,455 × 10⁷ mm⁴ = 34,55 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 34,55 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 313,6 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

стенка: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·190 + 2160·90)/5760 = 152,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·20³/12 + 3600·(190 − 152,5)² = 5,183 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·180³/12 + 2160·(90 − 152,5)² = 1,427 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,183 × 10⁶ + 1,427 × 10⁷ = 1,945 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 152,5 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·152,5/1,945 × 10⁷ = 313,6 MPa

Ответ

σ_низ = 313,6 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −34,1 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = 10/26,93 = 0,3714, sin 2θ_s = −25/26,93 = −0,9285

2θ_s = atan2(−25, 10) = −68,2°

Угол на элементе

θ_s = −34,1°

проверка: θ_s − θ_p = −34,1 − 10,9 = −45°

Ответ

θ_s = −34,1°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −30,62 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 50 + −70·0,866 + −40·0,5 = −30,62 MPa

Ответ

σ_θ = −30,62 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 46,54 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 28000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 28000·1500³/(3·8,4 × 10¹¹) = 37,5 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 9,04 mm

Сложите

δ = 37,5 + 9,04 = 46,54 mm

Ответ

δ = 46,54 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 209,6 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·20) = 7,67 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·7,67 × 10⁷/100)^1/3 = 209,6 mm

Ответ

h_req = 209,6 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 143,5 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1750² = 143515 N = 143,5 kN

Ответ

P_cr = 143,5 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 89,8 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 89,8 mm

Ответ

d = 89,8 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 155,9, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials