Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (сталь) под действием осевой нагрузки.

P = 25 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 25 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (латунь) диаметром 60 mm, длиной 500 mm и E = 100 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 75 kW при 1000 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 80 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

35 kN @ 2 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

45 kN @ 6 m50 kN @ 2 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 50 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 140 MPa и σᵧ = −20 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 180 MPa?

σ_x = 140 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 180 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 3 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,382 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490,9 = 50,93 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 50,93/200000 = 0,0002546 = 254,6 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,0002546·1500 mm = 0,382 mm

Ответ

δ = 0,382 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 27,43 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 100000·2827/500 = 565487 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·565487/729111 = 77558 N

Напряжение

σ₂ = 77558/2827 = 27,43 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 27,43 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 8,619 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·38350) = 0,1504 rad

φ = 0,1504·180/π = 8,619°

Ответ

φ = 8,619°

4.Кручение валов

Ответ: d = 35,72 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·80)) = 35,72 mm

Ответ

d = 35,72 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 53,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 48,33, M_C = 86,67 kN·m, M_D = 80, M_E = 63,33, M_F = 36,67, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 86,67 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 18,5 kN, R₂ = 108,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 14,5, M_C = 21, M_D = −30,5, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −90 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 22,58 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

стенка: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·227,5 + 2200·110)/4000 = 162,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·15³/12 + 1800·(227,5 − 162,9)² = 7,551 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·220³/12 + 2200·(110 − 162,9)² = 1,502 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,551 × 10⁶ + 1,502 × 10⁷ = 2,258 × 10⁷ mm⁴ = 22,58 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 22,58 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 20,23 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (6000·195 + 3600·90)/9600 = 155,6 mm

верхняя кромка: c = 210 − 155,6 = 54,38 mm

Момент инерции сечения

I = 200·30³/12 + 6000·39,38² + 20·180³/12 + 3600·65,63² = 3,498 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 50·3,498 × 10⁷/54,38 = 32,16 kN·m

нижняя кромка: M = 90·3,498 × 10⁷/155,6 = 20,23 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 20,23 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 20,23 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 89,44 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (140 + (−20))/2 = 60 MPa

R = σ₁ − C = 180 − 60 = 120 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(120² − 80²) = 89,44 MPa

Ответ

τ_xy = 89,44 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −15,18 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 15 + −95·0,5 + 20·0,866 = −15,18 MPa

Ответ

σ_θ = −15,18 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,734 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 1,734 mm

Ответ

δ_max = 1,734 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 38,77 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 3000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·2000³/(48·9,35 × 10¹⁰) = 5,348 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 33,42 mm

Сложите

δ_max = 5,348 + 33,42 = 38,77 mm

Ответ

δ_max = 38,77 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 8,996 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8,996 kN

Ответ

P_cr = 8,996 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 69,09 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Ответ

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials