Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 40 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (бронза) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 110 GPa. Длина обоих — 400 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 150 kN. Найдите укорочение δ.

P = 150 kNстержень: Ø40 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 120 kNучасток 1: Ø25 mm, 0,5 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø20 mm, 1,5 m, медь (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

При испытании на кручение сплошной образец диаметром 12 mm закручивается моментом 75 N·m. Концы расчётной длины 250 mm поворачиваются друг относительно друга на 13,53° (материал ещё работает упруго). Найдите модуль сдвига G материала.

T = 75 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 13,53°

G = GPa

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 30 kW при 1000 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 30 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 5,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 2 kN/m от 0 до 6 mx = 5,5 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 10 kN в 2 mw = 2 kN/m от 0 до 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 80 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 210 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 300 mmвырез: 80 × 20 mmцентр отверстия: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −60 MPa, σᵧ = −60 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 0 MPa, σᵧ = 40 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 45° по часовой стрелке от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 125 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,0469 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Укорочение

δ = 150000·400/1,279 × 10⁹ = 0,0469 mm

Ответ

δ = 0,0469 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 5,942 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 244,5 MPa

σ₂ = 382 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 244,5·500/117000 = 1,045 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 382·1500/117000 = 4,897 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,942 mm

Ответ

δ = 5,942 mm

3.Кручение валов

Ответ: G = 39 GPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции и угол

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 13,53·π/180 = 0,2361 rad

Модуль сдвига

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(2036·0,2361) = 39003 MPa

G = 39 GPa

Ответ

G = 39 GPa

Для сравнения: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюминий ≈ 26 GPa.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 5,018 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·37,5/2,141 × 10⁶ = 5,018 MPa

Ответ

τ_max = 5,018 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −5 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Рассеките в x = 5,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 6 − 2·5,5 = −5 kN

Ответ

V_x = −5 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 26 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 2·8·4

R_B = 84/8 = 10,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 10,5 = 15,5 kN

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 15,5·4 − 10·(4 − 2) − 2·4·2 = 26 kN·m

Ответ

M_x = 26 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 4,706 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

стенка: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·107,5 + 1600·50)/4300 = 86,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·15³/12 + 2700·(107,5 − 86,1)² = 1,287 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·100³/12 + 1600·(50 − 86,1)² = 3,419 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,287 × 10⁶ + 3,419 × 10⁶ = 4,706 × 10⁶ mm⁴ = 4,706 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 4,706 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 331,5 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (45000·150 − 1600·210)/(45000 − 1600) = 147,8 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·300³/12 + 45000·2,212² = 337,7 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

80·20³/12 + 1600·62,21² = 6,246 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 331,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 331,5 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 20 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−60 − −60)/2)² + −20²) = 20 MPa

Ответ

τ_max = 20 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −20 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −−20·−1 + 30·0 = −20 MPa

Ответ

τ_θ = −20 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 25,25 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 25,25 mm

Ответ

δ_max = 25,25 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 290,6 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·24) = 2,557 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,557 × 10⁸/125)^1/3 = 290,6 mm

Ответ

h_req = 290,6 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 14,06 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4200² = 14062 N = 14,06 kN

Ответ

P_cr = 14,06 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 34,27 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Ответ

σ_cr = 34,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials