Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (алюминий) под действием осевой нагрузки.

P = 110 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 110 kNучасток 1: Ø35 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø12 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

При испытании на кручение сплошной образец диаметром 15 mm закручивается моментом 30 N·m. Концы расчётной длины 250 mm поворачиваются друг относительно друга на 1,08° (материал ещё работает упруго). Найдите модуль сдвига G материала.

T = 30 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 1,08°

G = GPa

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 75 kW при 500 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

35 kN @ 0 m50 kN @ 12 m20 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 300 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 130 mm. Толщина основания и полок 14 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 300 mmh = 130 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 180 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 240 mm и стенку толщиной 14 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 80 kN·m относительно оси x. Найдите величину нормального напряжения при изгибе σ_j в месте сопряжения стенки с верхней полкой.

B = 180 mmH = 240 mmt_f = 22 mmt_w = 14 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −80 MPa, σᵧ = −50 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 350 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = −60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 5 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 6 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 41,68 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 110·1000/113,1 = 972,6 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 972,6/70000 = 0,01389 = 13894 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,01389·3000 mm = 41,68 mm

Ответ

δ = 41,68 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 972,6 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 972,6 MPa

Ответ

σ_max = 972,6 MPa

3.Кручение валов

Ответ: G = 80,06 GPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции и угол

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 1,08·π/180 = 0,01885 rad

Модуль сдвига

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(4970·0,01885) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Ответ

G = 80,06 GPa

Для сравнения: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюминий ≈ 26 GPa.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 87,58 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,432 × 10⁶·25/408885 = 87,58 MPa

Ответ

τ_max = 87,58 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 94,5 kN, R₂ = 94,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 165, M_C = 282, M_D = 351 kN·m, M_E = 282, M_F = 165, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 351 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 10 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 41,25 kN, R₂ = 63,75 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −70, M_C = −57,5, M_D = −45, M_E = −72,5, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −100 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 35,35 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 300·14 = 4200 mm², y₁ = 7 mm

две полки: A₂ = 2·14·116 = 3248 mm², y₂ = 14 + 116/2 = 72 mm

Центр тяжести

ȳ = (4200·7 + 3248·72)/7448 = 35,35 mm

Ответ

ȳ = 35,35 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_j = 75,97 MPa

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 240 − 2·22 = 196 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·240³ − 166·196³)/12

I_x = 1,032 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 120 − 22 = 98 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·98/1,032 × 10⁸ = 75,97 MPa

Ответ

σ_j = 75,97 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 42,72 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−80 − −50)/2)² + 40²) = 42,72 MPa

Ответ

τ_max = 42,72 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,004

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 25 MPa, R = 87,32 MPa

σ₁ = 112,3 MPa, σ₂ = −62,32 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 174,6 MPa

n = 350/174,6 = 2,004

Ответ

n = 2,004

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 1,559 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 5000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 5000·2000²·4000²/(3·1,14 × 10¹³·6000) = 1,559 mm

Ответ

δ_P = 1,559 mm

12.Прогиб балки

Ответ: R_B = 13,5 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·6/8 = 13,5 kN

Ответ

R_B = 13,5 kN

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 5,888 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1500 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

Ответ

P_cr = 5,888 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 49,35 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7,5 = 200

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Ответ

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials