Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 30 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (медь) диаметром 60 mm, длиной 200 mm и E = 120 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,25 mm.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 20 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 200 MPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 120 GPa и допускаемым напряжением 60 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 50 kW при 300 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

50 kN @ 0 m15 kN @ 6 m35 kN @ 2 m10 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 100 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 210 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 190 × 20 mm, стенку высотой 180 mm и толщиной 14 mm и нижнюю полку 230 × 12 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 190 × 20 mmстенка: 14 × 180 mmнижняя полка: 230 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Элемент повёрнут на 45° по часовой стрелке. Найдите нормальное напряжение σ_y′ на гранях повёрнутого элемента, перпендикулярных повёрнутой оси y′.

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 140 MPa, σᵧ = −50 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 45° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3,5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 2 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 150 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 150 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 92,2 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·2827) = 5,895 × 10⁻⁷ mm/N

Нагрузка

P = 0,25/2,712 × 10⁻⁶ = 92199 N = 92,2 kN

Ответ

P = 92,2 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 540,4 kN

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Определяющая деформация

ε = min(0,001, 0,0005) = 0,0005 (медь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0005·1,081 × 10⁹ = 540354 N = 540,4 kN

Ответ

P_max = 540,4 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 3,591 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(26000·613592) = 0,06268 rad

φ = 0,06268·180/π = 3,591°

Ответ

φ = 3,591°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 49,38 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Полярный момент инерции

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,592 × 10⁶·30/966855 = 49,38 MPa

Ответ

τ_max = 49,38 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 30,33 kN, R₂ = 48,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 28,33, M_C = 52,67, M_D = 73, M_E = 89,33 kN·m, M_F = 46,67, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 89,33 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 95 kN, R₂ = 35 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −10, M_D = −15, M_E = −30, M_F = −15, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −50 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·150 − 2827·210)/(30000 − 2827) = 143,8 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·300³/12 + 30000·6,243² = 226,2 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·66,24² = 13,04 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 213,1 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 68,94 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 3800 mm², y = 202 mm

стенка: A = 2520 mm², y = 102 mm

нижняя полка: A = 2760 mm², y = 6 mm

Центр тяжести

ȳ = (3800·202 + 2520·102 + 2760·6)/9080 = 114,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 190·20³/12 + 3800·87,33² = 2,911 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·180³/12 + 2520·12,67² = 7,209 × 10⁶ mm⁴

нижняя полка: 230·12³/12 + 2760·108,7² = 3,263 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,911 × 10⁷ + 7,209 × 10⁶ + 3,263 × 10⁷

I_x = 6,894 × 10⁷ mm⁴ = 68,94 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 68,94 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_y′ = −25 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Формула преобразования для грани y′

σ_y′ = −15 − 5·0 − (−10)·(−1) = −25 MPa

Проверка

Сумма нормальных напряжений не меняется при повороте.

σ_x′ = −5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Ответ

σ_y′ = −25 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −95 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −95·1 + 60·0 = −95 MPa

Ответ

τ_θ = −95 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 3,977 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 2000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 2000·3500²·1500²/(3·9,24 × 10¹¹·5000) = 3,977 mm

Ответ

δ_P = 3,977 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 186,4 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·18) = 8,09 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·8,09 × 10⁷/150)^1/3 = 186,4 mm

Ответ

h_req = 186,4 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 78,96 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1500² = 78957 N = 78,96 kN

Ответ

P_cr = 78,96 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 100,7 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/15 = 140

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Ответ

σ_cr = 100,7 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials