Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (алюминий) под действием осевой нагрузки.

P = 90 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 120 kNучасток 1: Ø25 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø20 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 750 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 75 kW при 500 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,6 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 75 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 60 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 4 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mM₀ = 60 kN·m по часовой стрелке, в точке 4 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите расстояние x_c от A до точки перегиба между опорами (где изгибающий момент меняет знак).

L = 8 mw = 4 kN/m от 0 до 8 mопоры при x = 0 и x = 6 m

x_c = m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 80 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 84 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 240 mmвырез: 80 × 50 mmцентр отверстия: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° по часовой стрелке от оси x.

σ_x = −40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3,5 m от A. Найдите прогиб δ_B свободного конца B.

P = 20 kNa = 3,5 mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 1 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 30 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 30 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 11,37 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 90·1000/113,1 = 795,8 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 795,8/70000 = 0,01137 = 11368 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,01137·1000 mm = 11,37 mm

Ответ

δ = 11,37 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 382 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 244,5 MPa

σ₂ = 382 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 382 MPa

Ответ

σ_max = 382 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 16,89 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(80000·79522) = 0,2947 rad

φ = 0,2947·180/π = 16,89°

Ответ

φ = 16,89°

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 48,17 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75·0,8704)) = 48,17 mm

d_i = 0,6·48,17 = 28,9 mm

Ответ

d_o = 48,17 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 45,99 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −30 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/8 = 7,5 kN (вверх)

R_A = −R_B = −7,5 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −7,5·4 = −30 kN·m

Ответ

M_x = −30 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x_c = 5,333 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·8·4

R_B = 128/6 = 21,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 21,33 = 10,67 kN

Нулевой момент

Между опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Кроме x = 0, он равен нулю при x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·10,67/4 = 5,333 m

Ответ

x_c = 5,333 m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 38,74 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

стенка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·195 + 3600·90)/12600 = 165 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·30³/12 + 9000·(195 − 165)² = 8,775 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 165)² = 2,997 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,775 × 10⁶ + 2,997 × 10⁷ = 3,874 × 10⁷ mm⁴ = 38,74 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 38,74 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 223,9 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (48000·120 − 4000·84)/(48000 − 4000) = 123,3 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·240³/12 + 48000·−3,273² = 230,9 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

80·50³/12 + 4000·−39,27² = 7,003 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 223,9 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 223,9 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = −63,43 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −10 − 50) = −126,9°

Угол на элементе

θ_p = −63,43°

Ответ

θ_p = −63,43°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −38,66 MPa

Формула преобразования

σ_θ = −20 + −20·0,5 + 10·−0,866 = −38,66 MPa

Ответ

σ_θ = −38,66 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_B = 75,45 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 20000 N, a = 3500 mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогиб свободного конца

Прогиб под силой плюс угол поворота под силой, умноженный на оставшуюся длину.

δ_P = Pa³/(3EI) = 62,14 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,02663 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 75,45 mm

Ответ

δ_B = 75,45 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 131,5 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4000⁴/(384·11000·16) = 1,894 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,894 × 10⁷/100)^1/3 = 131,5 mm

Ответ

h_req = 131,5 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 41,12 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/2500² = 41123 N = 41,12 kN

Ответ

P_cr = 41,12 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 28,05 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 28,05 mm

Ответ

d = 28,05 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 142,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials