Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (медь) под действием осевой нагрузки.

P = 75 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 40 kNучасток 1: Ø30 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø20 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) передаёт 15 kW при 500 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 50 MPa, а угол закручивания — 0,5° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 10 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 2,5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mM₀ = 10 kN·m по часовой стрелке, в точке 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 6 m50 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 70 MPa и σᵧ = 100 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 145 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 145 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 40 mm нагружен изгибающим моментом 1000 N·m вместе с крутящим моментом 500 N·m. На верхней поверхности, где нормальное напряжение от изгиба растягивающее и наибольшее, найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

d = 40 mmM = 1000 N·mT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 28 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 1,959 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/490,9 = 152,8 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 152,8/117000 = 0,001306 = 1306 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,001306·1500 mm = 1,959 mm

Ответ

δ = 1,959 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 1,839 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 56,59 MPa

σ₂ = 127,3 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 56,59·1000/100000 = 0,5659 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127,3·1000/100000 = 1,273 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,839 mm

Ответ

δ = 1,839 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 2,806 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(39000·251327) = 0,04897 rad

φ = 0,04897·180/π = 2,806°

Ответ

φ = 2,806°

4.Кручение валов

Ответ: d = 59,88 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·50)) = 30,79 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 59,88 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(30,79, 59,88) = 59,88 mm

Ответ

d = 59,88 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −6,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/4 = 2,5 kN (вверх)

R_A = −R_B = −2,5 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −2,5·2,5 = −6,25 kN·m

Ответ

M_x = −6,25 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 22,5 kN, R₂ = 57,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 22,5, M_C = −5, M_D = −32,5, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −60 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 4,84 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

стенка: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·125 + 1200·60)/3600 = 103,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·10³/12 + 2400·(125 − 103,3)² = 1,147 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·120³/12 + 1200·(60 − 103,3)² = 3,693 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,147 × 10⁶ + 3,693 × 10⁶ = 4,84 × 10⁶ mm⁴ = 4,84 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 4,84 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 7,074 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

стенка: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·305 + 6000·150)/8200 = 191,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·10³/12 + 2200·(305 − 191,6)² = 2,832 × 10⁷ mm⁴

стенка: 20·300³/12 + 6000·(150 − 191,6)² = 5,538 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,832 × 10⁷ + 5,538 × 10⁷ = 8,369 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 310 − 191,6 = 118,4 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·118,4/8,369 × 10⁷ = 7,074 MPa

Ответ

σ_верх = 7,074 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 58,09 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (70 + 100)/2 = 85 MPa

R = σ₁ − C = 145 − 85 = 60 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 15²) = 58,09 MPa

Ответ

τ_xy = 58,09 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 88,97 MPa

Напряжения на поверхности

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 79,58 MPa

R = √(79,58² + 39,79²) = 88,97 MPa

Ответ

τ_max = 88,97 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,01278 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 12·1500³/(24·1,32 × 10¹¹) = 0,01278 rad

Ответ

θ_A = 0,01278 rad

Это 0,7325°.

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 28000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·4000³/(48·3,2 × 10¹³) = 1,167 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 0,8333 mm

Сложите

δ_max = 1,167 + 0,8333 = 2 mm

Ответ

δ_max = 2 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 3,312 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·4000 = 8000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/8000² = 3312 N = 3,312 kN

Ответ

P_cr = 3,312 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 13,77 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/6,25 = 224

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13,77 MPa

Ответ

σ_cr = 13,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials