Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 40 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (латунь) диаметром 30 mm, длиной 200 mm и E = 100 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,2 mm.

участок 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 95 kNучасток 1: Ø25 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 5 kW при 3000 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_B на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 9,5 mP₁ = 35 kN в 4 mP₂ = 50 kN в 9,5 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_B = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 20 kN в 4,5 mw = 8 kN/m от 0 до 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 210 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 440 mm и стенку толщиной 6 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 210 mmH = 440 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 140 × 24 mm, стенку высотой 150 mm и толщиной 10 mm и нижнюю полку 170 × 20 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 140 × 24 mmстенка: 10 × 150 mmнижняя полка: 170 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −80 MPa, σᵧ = 20 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 355 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σ_x = 150 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 10 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 5 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 45,24 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,2/4,421 × 10⁻⁶ = 45239 N = 45,24 kN

Ответ

P = 45,24 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 5,693 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·1000/200000 = 0,9677 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 472,5·1000/100000 = 4,725 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,693 mm

Ответ

δ = 5,693 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 2,993 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(39000·613592) = 0,05224 rad

φ = 0,05224·180/π = 2,993°

Ответ

φ = 2,993°

4.Кручение валов

Ответ: d = 11,75 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 5000/314,2 = 15,92 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·50)) = 11,75 mm

Ответ

d = 11,75 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_B = −75 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 50·9,5

R_B = 615/8 = 76,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 76,88 = 8,125 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

На консольный свес действует только P₂ с плечом a. Она изгибает балку над опорой так, что растянуты верхние волокна (отрицательный момент).

M_B = −P₂·a = −50·1,5 = −75 kN·m

Ответ

M_B = −75 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 52,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·4,5 + 8·6·3

R_B = 234/6 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 39 = 29 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 29·3,5 − 8·3,5·1,75 = 52,5 kN·m

Ответ

M_x = 52,5 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 301,8 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 440 − 2·14 = 412 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·440³ − 204·412³)/12

I_x = 3,018 × 10⁸ mm⁴ = 301,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 301,8 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 53,08 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 3360 mm², y = 182 mm

стенка: A = 1500 mm², y = 95 mm

нижняя полка: A = 3400 mm², y = 10 mm

Центр тяжести

ȳ = (3360·182 + 1500·95 + 3400·10)/8260 = 95,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 140·24³/12 + 3360·86,6² = 2,536 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·150³/12 + 1500·0,4019² = 2,813 × 10⁶ mm⁴

нижняя полка: 170·20³/12 + 3400·85,4² = 2,491 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,536 × 10⁷ + 2,813 × 10⁶ + 2,491 × 10⁷

I_x = 5,308 × 10⁷ mm⁴ = 53,08 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 53,08 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 70,71 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−80 − 20)/2)² + −50²) = 70,71 MPa

Ответ

τ_max = 70,71 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,133

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 115 MPa, R = 69,46 MPa

σ₁ = 184,5 MPa, σ₂ = 45,54 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(184,5² − 184,5·45,54 + 45,54²) = 166,4 MPa

n = 355/166,4 = 2,133

Ответ

n = 2,133

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 3,125 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 10000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·1500²·3500²/(3·5,88 × 10¹²·5000) = 3,125 mm

Ответ

δ_P = 3,125 mm

12.Прогиб балки

Ответ: R_B = 15 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·5/8 = 15 kN

Ответ

R_B = 15 kN

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 2,12 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2500² = 2120 N = 2,12 kN

Ответ

P_cr = 2,12 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 21,93 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Ответ

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials